Это устойчивое сочетание, запятая не требуется.
Да, слова уют и ютиться (также приют) этимологически родственные (однако в современном русском языке однокоренными они не являются). При этом слово ютиться – наиболее позднее образование из этой группы слов, с искусственно, произвольно извлеченным корнем, образовано оно, по-видимому от слова приют (т. е. слово приют было воспринято как слово с приставкой при- и корнем -ют, и этот «корень» послужил основой для создания слова ютиться).
Что касается происхождения слова приют, то его этимология до конца точно не установлена. Возможно, это слово восходит к тому же древнему индоевропейскому корню, что и слово приятель, –*priio-. От этого же корня образованы многие слова со значением 'любовь; дружба, привязанность' в других индоевропейских языках.
Запятая не нужна, поскольку придаточное предложение не заканчивается перед тире.
В приведенном случае корректно оба слова со строчной буквы: его величества возраста.
Правильно: как бы ни менялся...
Учебник Вам расскажет больше, чем "Справочное бюро".
