Правильно: чемпион мира, Кубок мира.
Правильно раздельное написание. Такую рекомендацию дает академический орфографический словарь.
Запятая не нужна.
Названия Певек и Анадырь после слова город (г.) нужно согласовывать с определяемым словом, то есть склонять.
Слово чемпионат пишется строчными: чемпионат мира по футболу, чемпионат Европы, чемпионат России. Слово Кубок пишется с большой буквы как первое слово в названии спортивных соревнований: Кубок Европы по водному поло, Кубок мира, Кубок России. Но: Межконтинентальный кубок.
В этом предложении дополнительные знаки препинания не нужны.
Наречие как-то пишется через дефис, в том числе в значении 'неясно как, хорошо или плохо'; в конце предложения лучше поставить вопросительный знак: Как-то привьется побег православия на новой ветви?
1. Да, здесь действует то же правило. Тире не ставится (но оно всё же допустимо, если автор хочет логически и интонационно подчеркнуть сказуемое).
2. Здесь тире тоже не требуется. Тире не ставится, если между подлежащим и сказуемым, которые выражены существительными в именительном падеже, стоит вводное слово, наречие, союз, частица либо относящийся к сказуемому второстепенный член предложения.
Хорошо, что есть на свете камень, глина и песок ! Хорошо, что есть на свете клещи, гвозди, молоток!
