Правилами русского правописания не регламентировано употребление прописных и строчных букв в названиях, оформленных латиницей. Поэтому написание со строчной не будет орфографической ошибкой, но важно, чтобы читателю текста было понятно, о чем идет речь.
Названия регионов пишутся с прописной (например: Азиатско-Тихоокеанский регион, Балтийский регион, Ближневосточный регион, Волго-Вятский регион и др., см. фиксацию в академическом орфографическом словаре на ресурсе «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН). Но в данном случае под регионом понимается обширный район, группа соседствующих стран или территорий, объединённых по нескольким общим признакам (географическим, экономическим, политическим). Например, Азиатско-Тихоокеанский регион — это совокупность стран, расположенных по периметру Тихого океана, включая многочисленные островные государства в самом океане. Арктическим (с прописной) регионом можно было бы назвать обширные заполярные территории, включающие несколько субъектов РФ, территории других стран и др. Если называть Ямал арктическим регионом, корректно писать это сочетание строчными, в данном случае оно не является именем собственным.
Обычно такое выделение подчеркивается при помощи знака ударения: бо́льшая часть.
Для принятия верного решения в таких случаях нужно обращаться к правоустанавливающим документам. В соответствии с ними корректно с прописной: Департамент ветеринарии Минсельхоза России.
Правила русской орфографии не регламентируют употребление прописных и строчных букв в названиях, написанных латиницей.
Правильно: Мах, -а: число́ Ма́ха, у́гол Ма́ха.
Слово "прошение" пишется с маленькой буквы. С прописной буквы "Прошение" может писаться, если это первое слово заголовка документа или если имеется в виду конкретное прошение, ставшее наименованием.
На сайте самого движения используется обозначение Первые (с прописной без кавычек). То же — на логотипе организации. При этом в уставе организации и в официальных документах пишут «Движение первых».
О принадлежности ребенка к движению можно написать нейтрально — стал участником «Движения первых». Можно так: присоединился к Первым. Эти названия совсем недавно появились в языке, поэтому будем наблюдать за их употреблением. Возможно, со временем какие-то формулировки и написания станут устойчивыми, пока же они только осваиваются языком.
См. также ответ на вопрос № 319215.
Написание в кавычках с прописной уместно в том случае, если название используется как торговое (на ценнике, в меню и т. д.). В остальных случаях правильно строчными без кавычек: суп куриный, суп гороховый с копченостями и т. д.
Правило гласит, что в официальных составных названиях органов власти, учреждений, организаций, научных, учебных и зрелищных заведений, обществ, политических партий и объединений с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные.
Сложность в том, что в материалах на сайте самого движения слову Первые присваивается статус имени собственного (ср. заголовки «Современное экологическое воспитание наставники Первых обсудили в Кемерово»); написание Первые фигурирует на логотипе организации. Тем не менее в официальных документах, как и в уставе организации, используется соответствующее правилу написание — «Движение первых». Такое же написание — в официальной хронике.
Слово Первые может быть выделено таким образом в новостных текстах, но стилистически нейтрально: участники «Движения первых».
