Словари фиксируют только 2 отглагольных существительных к пристроить – это пристраивание (ко всем значениям глагола) и пристройка (только к пристроить в знач. 'построить в дополнение к чему-либо'). Слово пристройство официально «прописку» в русском литературном языке не имеет (хотя и правда употребляется).

Правильно: ГАУК «Театр» заключило договор. Согласование — с родовым словом, в данном случае с опорным словом аббревиатуры (учреждение... заключило). Ср.: кинотеатр «Победа» был построен (не была построена), партия «Яблоко» была основана (не было основано).

Как правило, местоимение указывает на ближайшее существительное соответствующего рода и в соответствующей форме. В данном случае это слово фильм. Однако фраза построена стилистически небезупречно, ее необходимо перестроить.

Возможный вариант: Сумасшедший, основавший свою киностудию, снял на ней фильм, который, однако, так и не был выпущен.

Фраза построена таким образом, что причастный оборот можно понять как обстоятельство причины ("поскольку место было защищено скалами, оно было далеко"). Хотя смысл основной части предложения такое обстоятельственное значение опровергает. Это значит, что предложение "неисправно" со стилистической точки зрения, нужно его перестроить: Это место, защищенное скалами, было далеко от маяка.

Фраза построена неудачно. Возможные варианты: Иванов Петр Иванович, родившийся 23.05.1999; Иванов Петр Иванович, 1999 г. р.  Однако следует признать, что формулировка такой-то, 01.01.1990 года рождения... устоялась в канцелярской речи и вошла во многие шаблоны и образцы. В ней возможны варианты пунктуации: либо поставить обе запятые (выделить дату рождения как уточнение), либо убрать оба знака.

Наречие на -о, образованное от слова с двумя н, также пишется с двумя н. Сопоставление с парой обиженный > (нареч.) обиженно совершенно правильно. От завышенный образуется наречие завышенно. В словарях фиксируются не все системно образуемые наречия на -о.

Фраза Услуги оплачивались завышенно построена неудачно, она лексически недостаточна. Наречие нужно заменить сочетанием слов, например одним из следующих: по завышенным тарифам / ценам / размерам платы.

Предложение Решение о назначении публичных слушаний должно приниматься не позднее чем за 30 дней до даты рассмотрения вопроса на публичных слушаниях построена корректно. Ее значение: от момента назначения публичных слушаний до их проведения должно пройти не менее 30 дней. Больше можно, меньше нельзя. Слова не позднее чем можно заменить на «самое позднее». Если бы нужно было выразить значение «должно пройти не более 30 дней», следовало бы написать решение... должно приниматься не ранее чем за 30 дней...

Правильно: с Сахалина (ср. с острова).

В значении "с острова Сардиния" корректно: с Сардинии.

Корректно: ...на обложке его настольной книги — чеховского "Острова Сахалин".