Например: (Некто) полагает, что при применении наказания очень важно... Или требуется безличное предложение?

Касающийся и касающейся - разные падежные формы. Выбрать падежную форму следует в соответствии с контекстом.

Под освоенностью в данном случае понимается то, что название является привычным для носителя языка вследствие более или менее частого употребления в устной и письменной речи; четких критериев (дата заимствования, количество словоупотреблений и др.) нет.  Например, такие названия, как Вевак, Наматанай, Маданг (Папуа – Новая Гвинея), вряд ли известны большому числу носителей языка, поэтому при употреблении с родовым словом город их целесообразно не склонять. А такие названия, как Казань  и Уренгой, давно употребляются в русском языке, они известны (или, по крайней мере, должны быть известны) большинству говорящих и пишущих по-русски, поэтому их можно назвать освоенными русским языком.

Что касается названия нашей планеты, то оно не склоняется при употреблении с родовым словом. Правильно: на Земле, но: на планете Земля.

Фраза некорректна. Можно сказать: была вероятность, что она не сможет прийти.

Выражение "остановитесь на (такой-то) остановке" вполне возможно, хотя и выглядит тавтологичным.

Правильно: уволить пятьдесят три кандидата. Хотя и непонятно, как можно уволить кандидатов (т. е. тех, кто еще даже не вступил в должность).

По нормам русской грамматики склоняются все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный звук, кроме фамилий на -ых типа Черных, Седых. Мужская фамилия Шимчук должна склоняться; происхождение фамилии и гражданство ее носителя не имеют в данном случае никакого значения. Несклонение мужской фамилии Шимчук в русском языке недопустимо.

Сильно мечтать не вполне корректно. Правильно: страстно мечтать.

Можно сказать: Наступил важный и торжественный день.

Можно сказать: я одержу победу, смогу победить, сумею победить.