Наречие прочувственно имеет то же значение, что и наречие прочувствованно, однако, на наш взгляд, имеет несколько архаический оттенок (хотя словарями это и не отмечается). См.: — Немыслимо, уважаемый гражданин доктор, — прочувственно сказал пожарный и руки молитвенно сложил, — никакой возможности [М. А. Булгаков. Вьюга (1926)]; Теперь Юрию Юрьевичу очень хотелось рассказать обо всем этом прочувственно, с лирикой, но Вовка перебил... [Сергей Залыгин. Уроки правнука Вовки // «Новый мир», 1997] и др. 

Имя Сауя́ корректно склонять по образцу слов струя́, чешуя́: Сауя́, Сауи́, Сауе́, Саую́, Сауёй, о Сауе́.

В обоих ваших примерах имя собственное следует выделять запятыми.  

Эта запятая не просто имеет право на жизнь — она нужна в соответствии со структурным принципом русской пунктуации. Эта запятая закрывает придаточное предложение что производят жизненно важные товары. Союз либо соединяет слова тем и чувством.

Названия должностей, званий, титулов пишутся строчными. Поэтому в нейтральном употреблении для прописной буквы нет оснований.

Но вполне можно предположить, что контекст не нейтральный, тогда такой категоричный ответ не подходит. В обращении профессор вместо обращения по имени и отчеству видится намек на какую-то языковую игру или на дружеские взаимоотношения, а в рамках такой игры или в разных стилистических целях прописная буква может быть уместна (например, в шутку подчеркнуть особый высокий смысл, вкладываемый в слово профессор, и т. д.).

Сочетание в целом здесь не нужно. При существительном столкновение желательно дополнение (например, с ними).

Словари определяют значение глагола крякать применительно к человеку следующим образом: «Издавать отрывистый горловой звук, выражающий удовольствие, удовлетворение, досаду и т. п.» (Большой академический словарь русского языка. Т. 8. СПб.; М., 2007. С. 728).

Выполнением домашних заданий мы не занимаемся.

Это предложение с прямой речью. Правило таково: если прямая речь оказывается внутри слов автора и в месте разрыва слов автора была необходима запятая, то она ставится после прямой речи.

Верно: После того как он мне сказал: "Я люблю тебя", я решил больше не писать ему.

На наш взгляд, в этом случае лучше всего поставить многоточие в конце цитаты.