В этом бессоюзном сложном предложении нужно поставить двоеточие для выражения изъяснительных отношений (вторая часть отвечает на вопрос надежда на что?): Они, дожив до глубокой старости, засыпали с надеждой: в их жизни будет еще один светлый день.

Такой перенос не должны считать ошибкой. Хотя в академических правилах орфографии есть только одно упоминание о возможности перенесения знака переноса на вторую строку:

"При переносе может потеряться различие между написаниями слов слитно и через дефис; ср.: военно-обязанный (пишется военнообязанный ) и военно-морской (пишется военно-морской ). Для сохранения различия надо во втором случае повторить дефис в начале перенесенной части: военно-/-морской . Это правило применяется по желанию пишущего".

Придаточное предложение нужно в любом случае закрыть запятой (см. примеры в параграфе 64.1 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя).

Тире нужно, тем более что части предложения построены однотипно.

В данном случае уместна запятая. Корректно: На территории учреждения, осуществляющего деятельность по адресу: г. Москва, ул. Солнечная, д. 1, выявлено аварийное дерево. 

Тире здесь ставится на месте пропущенного глагола попробуйте.

В приведенной конструкции нет приложения, парными тире выделено целое предложение. Такое пунктуационное оформление представляется неудачным, оно затемняет логические связи между компонентами. Первая часть конструкции сообщает о факте, две другие содержат мысли Ивана, изложенные в третьем лице, то есть представляют собой несобственно-прямую речь. Можно рекомендовать варианты:

• Про сломанные наушники Иван умолчал: нечего маму расстраивать, накопит денег и купит новые. (Мысли персонажа преподносятся как объяснение его поступка.)
• Про сломанные наушники Иван умолчал. Нечего маму расстраивать, накопит денег и купит новые. (Мысли персонажа преподносятся как комментарий к поступку.)

В этом предложении сочетание с утра представляет собой сочетание предлога с существительным в роли обстоятельства времени (ср. в сочетании с прилагательным: с раннего утра, со вчерашнего утра). Предлоги с существительными пишутся раздельно; окончание -а — окончание родительного падежа единственного числа существительного среднего рода утро.

Да, парные тире вместо запятых для выделения приложения использовать можно. Тире придают этому приложению особую значимость.

Поскольку прямая речь в этом предложении играет роль приложения при существительном призыв, верно без двоеточия: ...воплотивших призыв Петрова «Все выходим на связь!» — и тем самым отчитавшихся о...