Это выражение некорректно. Возможные варианты: мероприятия, направленные на разъяснение закона о правах ребенка; мероприятия, направленные на информирование о законе о правах ребенка.

Согласно толковым словарям, арендой называется "временное пользование недвижимым имуществом на договорных началах за соответствующую плату". Земли и территории относятся к недвижимому имуществу, поэтому слово "аренда" здесь употреблено, на наш взгляд, корректно. С другой стороны, "предоставление" может быть возмездным.

Возможны варианты:

В связи с этим возникает вопрос, должно ли ООО изменить в ЕГРЮЛ свой адрес на адрес управляющей компании.

В связи с этим возникает вопрос: должно ли ООО изменить в ЕГРЮЛ свой адрес на адрес управляющей компании?

Корректно: на аллее (находиться), по аллее (прогуливаться).

В словарях зафиксирован вариант: подвигнуть на что-либо.

Правильно: навевает мысли (но: наводит на мысли).

Эти фамилии, действительно, могут склоняться – но только в непринужденной устной речи, причем с некоторым оттенком фамильярности. Вероятно, именно о таком разговорном употреблении шла речь на «Эхе». Согласно строгой литературной норме, фамилии на -ых не склоняются (ни мужские, ни женские). Как несклоняемые они отмечены, например, в «Грамматическом словаре русского языка» А. А. Зализняка.

Приведем также цитату из работы Н. А. Еськовой «Трудности словоизменения существительных»:

«Особый тип представляют собой русские фамилии на -ых (-их), выдающие свое происхождение от формы родительного (и предложного) падежа множественного числа прилагательных: Белых, Черных, Крученых, Кудреватых, Долгих, Рыжих. По строгим нормам литературного языка такие фамилии не склоняются: лекции Черных, роман Седых, творчество Крученых и т. п.

Примечание. В непринужденной разговорной речи существует тенденция склонять такие фамилии, когда они принадлежат мужчинам, действующая тем сильнее, чем ближе общение с носителем фамилии. Так, в ныне не существующем Московском городском педагогическом институте им. Потемкина студенты сороковых-пятидесятых годов слушали лекции Черныха, сдавали экзамены и зачеты Черныху и т.п. (сказать иначе никому не приходило в голову). Если бы эта разговорная тенденция победила, фамилии на -ых, -их перестали бы отличаться от прочих фамилий на согласные».

Предпочтительно: получил оценку на ЕГЭ (на экзамене).

Корректно: заявление о предоставлении (но: заявка на предоставление).

Аббревиатура БАМ склоняется. Правильно: я побывал на БАМе.