Да, в современном русском языке в глаголе избегать 'сторониться чего-либо, уклоняться от чего-либо' выделяется корень избег-, а в глаголе избегать 'бегая, побывать во многих местах' – корень -бег-. Разумеется, исторически в слове избегать тоже выделяется корень -бег- и приставка из-, оно родственно глаголу бежать 'сторониться'. Но в современном языке приставка в этом глаголе уже не выделяется.

Отдельного орфографического правила, регламентирующего написание названий банд, нет. Но вполне можно руководствоваться общим правилом, которое гласит, что в названиях, состоящих из родового наименования и наименования, не сочетающегося с ним синтаксически, последнее заключается в кавычки, в нем пишутся с прописной буквы первое (или единственное) слово и собственные имена: банда «Черная кошка».

Ваше написание (с прописной буквы и без кавычек) корректно, оно соответствует общему правилу о прописной букве в неофициальных названиях территорий, областей, местностей. 

В современном русском языке в слове заползать выделяется корень -полз-.

Пробел нужен. Относительно места расположения знаков доллара и евро: этот вопрос не является собственно лингвистическим. Разумными представляются советы известного веб-дизайнера Артемия Лебедева: Доллар куда будем ставить?

В этом случае необходимо соединительное тире. Обратите внимание, что кавычки не требуются: отношения родитель — потомок.

Из пособия Е. И. Литневской:
Если дополнение относится к переходному глаголу или к наречию, называя объект, на который направлено действие, и выражается формой винительного падежа без предлога, то такое дополнение называется прямым. Кроме формы винительного падежа без предлога слов любой именной части речи (Я уже читал эти книги), прямое дополнение может выражаться: 1) формой Р. п. без предлога в отрицательных предложениях: Я не читал этих книг; 2) формой Р. п. без предлога при переходных глаголах, совмещающих значение достижения результата с количественным значением: Пойду куплю хлеба; 3) формой Р. п. при некоторых наречиях — сказуемых безличного предложения: Мне жаль потраченного времени. Все остальные дополнения — косвенные.

Судя по данным поисковых систем, сейчас написание безказеиновый преобладает над бесказеиновый. Однако правилу соответствует второй вариант. Почему правило нарушается? Потому что пишущие — часто бессознательно — руководствуются основным принципом русской орфографии и стремятся одинаково записывать одну и ту же морфему, не отражать на письме фонетические изменения, которые происходят, когда звуки попадают в слабую позицию и изменяются. В сильной позиции для согласного (перед гласным) мы произносим без: безобразный, безыскусный, безупречный, то же перед звонким согласным: безбедный, безделушка, безглютеновый. Перед глухим согласным качество последнего согласного приставки меняется: вместо з произносится с, и это изменение по правилу должно передаваться, ср.: беспросветный, бесчисленный, бесконтактный. При этом предлог с тем же значением, что и приставка, пишется с з вне зависимости от произношения: без просвета, без четверти, без казеина.

Орфография приставок на з/с всегда была проблемной областью письма: морфемный принцип тянул в одну сторону, фонетический — в другую. Правило, сложившееся в ХIХ веке, отражало эту сложность: пишущим приходилось учитывать несколько критериев. Реформа 1917—1918 годов правило упростила. Казалось бы, это должно было облегчить положение пишущего. Но правила правилами, а язык берет свое. Магнитные полюса орфографии не исчезли и продолжают влиять на письмо. А правила противостоят стихии. 

Когда-то прилагательное бесшовный чаще записывали с приставкой без — безшовный. Однако вариант бесшовный был зафиксирован в орфографическом словаре, и написание стабилизировалось. Слово бесказеиновый тоже нуждается в словарной фиксации. Передадим его орфографистам для включения в словарь. Спасибо Вам за вопрос!

Выбор предлога зависит от того, с какого звука (гласного или согласного) начинается последующее слово. Правильно: об увольнении.

Предлог о (1) с вин. пад. произносится без ударения (с переносом ударения – о бок). Употребляется (наряду с об) перед формами, начинающимися согласными (в том числе "йот"), кроме форм местоименных слов всё, всю, все, всех, что (где выступает обо). Требует употребления форм местоименных слов с начальным н (о него и об него).

Предлог о (2) с предл. пад. произносится без ударения. Употребляется перед формами, начинающимися согласными (в том числе "йот"), кроме форм местоименных слов мне, всём, всей, всех (где выступает обо). Требует употребления форм местоименных слов с начальным н (о нем).

Предлог об (1) с вин. пад. произносится без ударения (с переносом ударения об пол, об руку, об стену). Употребляется перед формами, начинающимися гласными; наряду с о употребляется перед формами, начинающимися согласными (в том числе согласной "йот"), кроме форм местоименных слов всё, всю, все, всех, что (где выступает обо). Требует употребления форм местоименных слов с начальным н (об него и о него).

Предлог об (2) с предл. пад. произносится без ударения. Употребляется перед формами, начинающимися гласными.

Предлог обо с вин. и предл. пад. произносится без ударения. Употребляется перед формами вин. пад. местоименных слов всё, всю, все, всех, что и перед формами предл. пад. местоименных слов мне, всём, всей, всех.

В художественной литературе возможно о всем, о всей, о всех.