Простите, пожалуйста, за долгий ответ! Через дефис пишутся, во-первых, сложносоставные существительные (плащ-палатка, кран-балка, диван-кровать). Первая часть таких слов не склоняется (плащ-палаткой, кран-балкой, диван-кроватью). В сложносоставных словах между частями есть очень тесная связь, которая и позволяет не склонять первое слово. Во-вторых, дефисное написание имеют конструкции, представляющие собой сочетание определяемого слова с приложением, то есть согласованным определением, выраженным существительным (художник-маринист, инженер-экономист и т. д.). В этом случае склоняются обе части: художником-маринистом, инженером-экономистом. В приведенных примерах мы имеем дело именно с этим случаем, соответственно по правилам мы должны склонять обе части: «Зенита-Казани», «Зенитом-Казанью» и т. д. Это соответствует и реальной языковой практике. Например, новости на канале Sport24 выглядят так: Сегодня, 15 сентября, состоится матч 1-го тура группы А на Кубке Победы между «Зенитом-Казанью» и кемеровским «Кузбассом», и таких примеров много. Хотя надо отметить, что пишущие часто избегают косвенных падежных форм этих конструкций, предпочитая другие варианты формулировок (например, ...между казанским «Зенитом»).

Что касается названия, состоящего из двух слов, то обе его части, конечно, должны склоняться.

Действительно, существует особая группа территорий, представление о которых включает исторический, политический, этнический, культурный, эстетический и пр. компонент, в отличие от собственно географических (природных) территорий, названия которых не содержат никаких дополнительных коннотаций. Например, Балтия — это не территория вокруг Балтийского моря, а Латвия, Литва и Эстония, связанные с Россией общей историей; под Восточной Европой понимают не просто часть европейского континента, а часть, населенную преимущественно славянскими народами. Север — полярные и приполярные территории, Арктика. Но сочетание Юг России в написании с заглавной буквы закрепилось в русском культурном фонде как название территории, подконтрольной белогвардейцам в 1918–1920 гг., ср.: Вооруженные силы Юга России — объединенные вооруженные силы Белого движения, образованные 8 января 1919 г. в результате соглашения между командующим Добровольческой армией А. И. Деникиным и атаманом Донского казачьего войска П. Н. Красновым. Только в таком значении и следует писать с заглавной буквы Юг России.

К существительным с собирательным значением, называющим совокупности лиц, обычно задается вопрос кто? Ср. текст из советского прошлого:

— Кто шагает дружно в ряд?
— Пионерский наш отряд.

1. В подготовленном Орфографической комиссией РАН полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» (М., 2006) находим ответ на Ваш вопрос: «...Следует иметь в виду, что в существительных после согласных с, з, ж не пишутся суффиксы -щик, -щин(а), а пишутся -чик, -чин(а): ср. сварщик, мойщик, но резчик, разносчик, перебежчик; Орловщина, Смоленщина, но Одесчина, Воронежчина. Буквосочетание сщ встречается только на стыке приставки и корня, напр.: расщепить». Как видите, здесь всё однозначно.

2. Сочетание дни города можно понять как несколько дней (одного года), в рамках которых проходят какие-либо торжественные мероприятия (ср.: Дни славянской письменности и культуры). Поэтому лучше перестроить фразу (например: на протяжении многих лет принимали участие в праздновании Дня города).

Вариант Технический университет Дрезден неприемлем, такое сочетание не соответствует нормам русского литературного языка. Оно было бы возможно, если бы университет назывался Дрезден (ср. университет Виадрина = университет, который называется Виадрина; город Дрезден = город, который называется Дрезден). Что касается остальных вариантов: грамматически верно и Технический университет Дрездена, и Дрезденский технический университет. Однако следует иметь в виду, что традициям именования вузов в русском языке (в том числе иностранных вузов) соответствует вариант с прилагательным-определением. В русском языке родительный падеж после слова университет означает «университет имени...» (Российский университет дружбы народов) или «университет, в котором изучается...» (Киевский университет права). Для обозначения географической принадлежности вуза используется не родительный падеж существительного, а именно прилагательное.

Если поискать, такие слова найдутся) Например, буквосочетание гя может встретиться в именах собственных (Плунгян — фамилия ученого, академика РАН, главного научного сотрудника Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН). Буквосочетание гя встречается в формах деепричастий глаголов на -жечь (*зажгя, *разожгя), ненормативных, но используемых, например, в художественных текстах — в стилистических целях, для передачи особенностей речи персонажей и др.: И далее вижу я — боярский сын, и ремесленник, и крестьянин берут кистень и, зажгя дворы свои, уходят в леса свирепства своего ради (А. Н. Толстой, Петр Первый); Пробовали даже выкуривать обитателей норы, разожгя костер (В. Солоухин, Капля росы). Наконец, всегда есть возможность образования окказиональных слов, содержащих данное буквосочетание.

Компонент имени Юшидж склоняется по правилу об обязательном склонении мужских имен и фамилий, оканчивающихся  на согласный. С компонентом Нима сложнее. Справочники рекомендуют склонять восточные имена и фамилии, оканчивающиеся на -а с предшествующим согласным. Корректно было бы: Нимы́ Юшиджа, Ниме́ Юшиджу и т. д. Склонение обоих слов предпочтительно еще и потому, что если компонент Нима останется неизменным, то из формы родительного падежа (поэзия Нима Юшиджа) читатель, незнакомый с этим именем, решит, что имеется в виду поэт, которого зовут Ним Юшидж. Однако на практике, в том числе в научных работах, посвященных творчеству поэта, используется вариант поэзия Нима Юшиджа, т. е. склоняется только вторая часть имени.

Фамилии на -ия склоняются (и мужские, и женские). Правильно: у Анны Нарсии, Анну Нарсию, с Анной Нарсией.

Часть речи - существительное. Член предложения - обстоятельство.