Возможны оба варианта склонения — с потерей и без потери гласной в зависимости от традиции употребления в литературном языке. Ввиду того, что фамилии выполняют юридическую функцию, предпочтительно склонять их без выпадения гласного.
Возможно: авторизоваться как пользователь, в качестве пользователя.
Сочетание неудачное.
Под городом Ростовом-на-Дону, под Саратовом, под Гдовом, под городом Серпуховом. Примеры убеждают, что выбор нужно сделать в пользу варианта под городом Дымовом. Подробно о склонении географических названий рассказано в «Письмовнике».
Правильно: старый Новый год.
Это сочетание не заключается в кавычки.
Все слова, кроме слова год, должны быть написаны с прописной: год Синей Деревянной Лошади.
Это существительное среднего рода.
См. в Горячей десятке вопросов.
