Правильно: посоли.

В диктанте принимается как правильное современное написание названия института. Оно было закреплено уставом и фиксируется в ряде орфографических руководств, например в академическом «Русском орфографическом словаре» (М., 2012), словаре «Прописная или строчная?» В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой (М., 2011). См. также ресурс «Проверка слова». Написание Пушкинский Дом было принято в источнике диктанта – книге Е. Г. Водолазкина, ведущего научного сотрудника Пушкинского Дома, «Инструмент языка. О людях и словах».

В публикациях романа А. Г. Битова слово дом в названии института пишется, насколько мы можем судить по доступным нам источникам, со строчной буквы. Такое написание, по-видимому, преобладало во время выхода романа и было отражено в словаре-справочнике Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» (М., 1989). Интересно, что в публикации положения об институте 1907 года выбрана та же графическая форма названия – Пушкинский дом.

Тексты диктантов на нашем портале носят обучающий, а не контролирующий характер, поэтому принятое там решение о написании названия Пушкинский Дом вполне возможно. Однако орфографический комментарий, конечно, нужно дополнить. Спасибо Вам за то, что обратили наше внимание на этот интересный случай.

В большинстве случаев достаточно помнить только три правила:

1. Общее правило: вводное слово выделяется запятыми.
2. Если вводное слово стоит в начале или в конце обособленного оборота (обособления, уточнения, пояснения, присоединения), то никаким знаком препинания от оборота оно не отделяется.
3. Если вводное слово находится в начале оборота, заключенного в скобки, то оно отделяется запятой.

На основании этих правил:

1. Некоторые сотрудники, например Вася, напрашиваются на увольнение (правило 2).
2. Некоторые сотрудники (например, Вася) напрашиваются на увольнение (правило 3).
3. Корректно: Некоторые сотрудники напрашиваются на увольнение, например Вася (правило 2).
4. Некоторые сотрудники удручают. Например,  Вася напрашивается на увольнение (правило 1).
5. Некоторые сотрудники — такие, как, например, Вася, — напрашиваются на увольнение (правило 1).
6. К сотрудникам, напрашивающимся на увольнение, относится, например, Вася (правило 1).

И еще одно правило связано со словом например. Оно требует постановки запятой перед собой и двоеточия после себя, если стоит после обобщающего слова перед перечислением однородных членов предложения: Некоторые сотрудники напрашиваются на увольнение, например: Вася, Коля, Слава.

Словари, действительно, иногда противоречат друг другу (это касается не только словарей, электронные версии которых размещены на нашем портале) – этого не надо пугаться, надо помнить, что словари составляют лексикографы, у которых может быть неодинаковое представление о языковой норме и ее динамике, о критериях фиксации тех или иных языковых явлений; составляемые ими словари могут быть нацелены на решение разных задач; наконец, в ряде случаев лингвисты (живые люди!) могут руководствоваться собственным языковым вкусом. Так, словарь «Русское словесное ударение» предназначен в первую очередь для дикторов радио и телевидения, поэтому его позиция – принципиальный выбор в пользу только одного варианта (даже если возможен второй), ведь звучащая в эфире речь должна быть единообразной.

Общие же рекомендации такие: надо ориентироваться на рекомендации того словаря, который «специализируется» на данном языковом факте. Если Вы проверяете правописание слова – руководствуйтесь предписаниями орфографического словаря, если Вы хотите узнать, какое ударение в слове правильно (или, если возможны варианты, то какой из них в наибольшей степени отвечает строгой литературной норме), – доверяйте словарю ударений.

В словаре А. А. Зализняка в разделе  "Сокращенная запись глагольной парадигмы и восстановление остальных форм по этой записи" указывается, что форма повелительного наклонения ед. ч. получается из формы 3 л. мн. ч. настоящего/будущего времени "заменой окончания -ут, -ют, -ят или -ат на -и (после согласной) и -й (после гласной)". Выбрав по индексу нужный образец спряжения, получаем: подым-ут – подым-и (глагол подъять); подним-ут – подним-и (глагол поднимать).

Глаголы имеют одинаковое значение, но глагол подъять не является стилистически нейтральным. Уже в словаре Ушакова, который отражает нормы русского литературного языка 40-х годов XX века, формы этого глагола имеют пометы устар. (устаревший), простореч. (просторечный). В "Большом толковом словаре русского языка" (под ред. С. А. Кузнецова) глагол подъять характеризуется как разг. (разговорный). В связи с этим употреблять этот глагол следует только в речевых ситуациях, допускающих использование стилистически окрашенной лексики. Тем не менее формы глагола подъять, в том числе формы повелительного наклонения, можно встретить в художественной литературе, где они вполне уместны.
Ну, прощай, Марфуша, подыми меня (Ф. Достоевский).

Я тебя выучу. Подыми перчатку, холуй! (А. Куприн).

См. словарную фиксацию.

Для постановки запятой в этом предложении нет оснований: Работы проходили на участке протяженностью 5 км.

Попробуем дополнить ответ, используя транскрипцию всех примеров.

В русском языке действуют фонетические законы. В области вокализма это прежде всего аканье ― произнесение О в безударной позиции как [а]. В результате в словах может возникать сочетание двух гласных [а], включающее как сочетание двух безударных звуков [а] (ѝноаге́нт – [инаагэѐнт], кѝноактёр – [кѝнаакт’о́р], баоба́б – [бааба́п], цѐнтроархи́в – [цѐнтраархи́ф] и т. п.), так и сочетание ударного и безударного [аа́] (соа́втор ― [саа́втор], коа́ла ― [каа́ла] и т. п.).

Эти примеры показывают, что сочетание двух звуков [а] внутри слова (внутреннее зияние) нормативно для русского языка и нет никаких факторов (например, место ударения, способ образования слов и проч.), ограничивающих его использование. Нормативно и сочетание других гласных при внутреннем зиянии, ср.: радиоузел, пунктуационный, аудиоанестезия

Неблагозвучные сочетания гласных звуков возникают в речи обычно при соединении слов (внешнем зиянии), таких сочетаний желательно избегать.

Лингвисты изучают и фиксируют норму в словарях и грамматиках, рассматривая при этом язык как живую, саморазвивающуюся систему, на которую невозможно влиять. Поэтому мы не можем посоветовать, какую-либо инстанцию, способную изменять словообразовательные модели и произносительные нормы.

В таких случаях используется форма единственного числа глагола в настоящем времени (Ваше величество желает прогуляться?) и множественного числа глагола в прошедшем времени (Ваше величество изволили вспомнить). Подобная практика объясняется тем, что глаголы в формах единственного числа прошедшего времени изменяются также по родам, что создает затруднения в выборе (Ваше величество изволил? изволила? изволило?).