Наличие непроизносимого согласного проверяется подбором другой формы того же слова или другого родственного слова, где этот согласный произносится, например: праздный (празден), честный (честен, честь), совместный (вместе), поздний (опоздать) и т. п.

В орфографии принят более этимологический подход к членению слова на морфемы, опирающийся на языковую интуицию. Носители языка часто чувствуют родство слов, отнесение которых к однокоренным с точки зрения современных смысловых, структурных, словообразовательных связей сомнительно. Слова, в которых членение слова на морфемы - дискуссионный вопрос, не должны служить материалом для проверки знаний в формате ОГЭ и ЕГЭ. Составители КИМ стремятся такие проблемные слова в реальных экзаменационных заданиях не давать.

В слове наказание вторую а можно проверить словом наказанный.

Форма на корню имеет более узкое значение: на корню, в зн. нареч. В самом начале, в зародыше. Пресечь на корню какое-л. дело. 

Приведем цитату из академической «Русской грамматики»: «В образованиях с морфом -ск- и мотивирующей основой на сочетание ˝согласная + |с|˝, в том числе на сс, первая согласная суф. морфа фонетически поглощается финалью корневого: саксы — сакский, Прованс — прованский, Уэльс — уэльский, Одесса — одесский, Пруссия и пруссы — прусский, Донбасс — донбасский (Русская грамматика. М., 1980. Т. 1. § 633).

Гласную в корне глагола растворить в значении 'раскрыть' можно проверить производным существительным раствор (ср.: затворить, затвор). 

В слове предприниматель корень с чередованием, ср. с однокоренными предпринимать, предпринять. См. также здесь. Вопрос о том, какой корень в этом слове, в науке не решается однозначно. А. Н. Тихонов в «Морфемно-орфографическом словаре русского языка» выделяет корень предприним-. Исторический корень — -ним-.

Верно: Поделитесь с нами подробностями?

Допустимы и кросс-ворд, и крос-сворд. Более привычен, конечно, первый вариант: структура слова диктует деление на осознаваемые значимые части.