Тавтологии здесь нет.

Словообразовательная цепочка, демонстрирующая ступени образования слова поверье выглядит следующим образом: вери-ть → по-верить → повер[j-е].

Производящее слово поверить, суффикс -[j]- (вариант суффикса -и[j]-). С помощью этого суффикса образуются отглагольные существительные, которые совмещают в своем значении присущее производящему глаголу значение действия (или состояния) со значением существительного как части речи, ср.: бесчестить → бесчестье, удушать / удушить → удушье, доверять / доверить → доверие и др. При образовании производной основы повер[j]- происходит усечение производящей глагольной основы: повери-.

В «Словообразовательном словаре» А. Н. Тихонова в качестве производящего для слова поверье указан глагол верить, однако при таком подходе остается неясным, какое значение в словообразовательную модель вносит приставка по-, которая очевидным образом является глагольной со значением результативности действия (значение совершенного вида) и появляется на ступени верить → по-верить, ср.: строить → по-строить, белить → по-белить, бить → по-бить и др.

Словообразовательная модель, по которой образовано слово поверье (← поверить) описана в «Русской грамматике), т. I, §259. Академическая грамматика является наиболее авторитетным источником, описывающим систему современного русского языка.

«Впрочем, такие сходства бывают», — читаем у И. С. Тургенева. «И, как это часто бывает, противоположности обманывают поверхностных наблюдателей внешними сходствами", — пишет Д. С. Мережковский. В произведениях многих русских классиков встречаются те или иные сходства. Обращение к разным лексикографическим изданиям помогает найти нужные пометы; см. существительное сходство в описании «Большого орфоэпического словаря русского языка».

Обратитесь к электронным словарям, представленным на нашем портале (окошко «Проверка слова»), обратите внимание на словарь М. В. Зарвы «Русское словесное ударение». Если в слове есть какие-либо особенности произношения, они указываются в словарной статье. Если помет нет, значит произношение слова вытекает из написания и свойственных русскому языку правил чтения. Например:

скворечник [шн]

молочник, -а (сосуд; торговец молоком)

Рядом со словом молочник помет нет, значит произносится [чн].

Слово прорешивать не фиксируется словарями, но может быть использовано для проверки правописания гласной в корне. Так что гласная - проверяемая (для того, кто нашел способ проверки) и непроверяемая (для того, кто такой способ не нашел).

Да, является, так как повторение местоимения вы следует оценивать как речевую избыточность. 

Орфографически верно с одной Н: по езженому лесу.

Здесь есть важное примечание, на которое необходимо обратить внимание: при определении спряжения (а следовательно, и при выборе гласной в окончании глагола) нужно обязательно убрать приставку вы-, перетягивающую на себя ударение. Получаем глагол горИт с ударным окончанием. По ударному окончанию определяем спряжение - второе. На гласную в инфинитиве не обращаем ни малейшего внимания.

Нужно сказать, что такую ошибку допускают почти все школьники.