Правильно раздельное написание: Тем, кто дружен, не страшны тревоги. Обратите внимание: «синонимичное выражение», которое Вы называете, тоже содержит слово «не», подобрать синоним без «не» не получается. Это говорит о том, что здесь не создается новое понятие, здесь акцент на отрицании (отрицании страха). Ученикам можно так и объяснить: пишем раздельно, потому что перед нами отрицание признака, а не утверждение нового понятия.

В этом случае правильна будет частица не: ...кого только не было в кругу друзей Гиляровского. См. пункт 2а параграфа 78 справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Если перечисляемые разновидности предметов или явлений внутренне связаны, например в сочетаниях терминологического характера, имя существительное, которому предшествует два или несколько определений, указывающих на разновидности предметов, ставится в форме единственного числа: Целью работы является выявление метафор в медийном и политическом дискурсе.

Это опечатка. Правильно: ...или сшитую тобой пару башмаков.

Вы правы в том, что стилистически это предложение небезупречно, однако нарушения грамматической нормы в нем нет. Дело в том, что в безличных предложениях деепричастный оборот допустим при условии, что в главном члене предложения присутствует инфинитив, обозначающий действие того же субъекта, который выполняет действие, обозначенное деепричастием. В данном примере м-р Гибсон и удовлетворяет свой аппетит, и не понимает, что он ест, — условие соблюдено.

Со стилистической же точки зрения наречие никогда в деепричастном обороте выглядит неуместно, потому что оно, будучи отрицательным местоименным наречием, перетягивает на себя фразовое ударение, в то время как место этого ударения — на деепричастии, это во-первых; а во-вторых — оно в принципе избыточно, без него фраза не утратит ни одного элемента смысла.

Такой вариант, кажется, лучше:

Что же это за "энерджайзер" такой - Таня Иванова, - попыталась узнать наша редакция.

Такая формулировка во многих отношениях некорректна. Корректно, например: В целом о цене: она такая же, как и в «Читай-городе».

Обособляется определительный оборот оговоренный в данном приложении, стоящий после определяемого слова товар.

Предложение сложное, с двумя грамматическим основами: Весь товар, оговоренный в данном приложении, на момент его заключения готов к отгрузке, и дополнительного уведомления покупателя не требуется.

Новых правил нет, скорее можно говорить о неустоявшейся норме, которую отражают и противоречивые рекомендации в лингвистических источниках. «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. Граудиной, В. Ицковича, Л. Катлинской предлагает склонять русские, славянские и освоенные названия городов, рек, сел, деревень, поселков, хуторов, если эти названия не оканчиваются на гласные -о, -е, -и, -ы. В соответствии с этой рекомендацией сочетание жительница поселка Смидовича не ошибочно. В то же время в «Словаре географических названий» А. В. Суперанской говорится, что географические названия обычно не склоняются в сочетании с термином поселок (кроме тех случаев, когда название выражено прилагательным: в поселке Володарском).

Общая же тенденция такова: географические названия в сочетании с родовым словом постепенно перестают склоняться. У Пушкина было: «История села Горюхина», сейчас норма – не склонять такие названия в сочетании с географическим термином. В разговорной речи круг сочетаний с приложением, в которых топоним не склоняется, очень широк;  на письме (в образцовой литературной речи) склонение, отвечающее строгой литературной норме, стараются сохранять.