Извините, вопрос не вполне понятен. Формулировка условий задачи должна быть, вероятно, примерно такой: "Какими могут быть шары в мешке, если известно, что они или большие, или красные?"  

Слово первейший может использоваться в разговорной речи в следующих значениях. 1. Самый важный, первостепенный: первейшая обязанность, первейшее условие, первейшие задачи. 2. Самый хороший, лучший из других подобных; первоклассный: первейший мастер.

Правильно: необходимо было выяснить, кто вошел в здание и зачем он это сделал. Запятая ставится между главным и придаточным предложением и не ставится между однородными придаточными, которые соединены неповторяющимся союзом и.

Слово спортсмен из этого перечня лучше убрать: звание заслуженный мастер спорта уже говорит о том, что Иванов является спортсменом. Звания почетный гражданин, заслуженный мастер спорта, чемпион однородны, поэтому требуют разделения запятыми.

Из сообщения, что дедлайн по задаче 1 октября, однозначно не следует, какой день — 30 сентября или 1 октября — является последним для выполнения задачи. Для устранения неоднозначности нужны иные формулировки.

Вне контекста противопоставления такие существительные пишутся слитно с не: неликвидация академической задолженности. Сравним: Неликвидация академической задолженности стала причиной отчисления обучающегося, но У меня в приоритете не ликвидация академической задолженности, а другие задачи.

Обсуждение сочетаемости слова проблема требует исторических и функционально-стилистических пояснений. Прежде всего констатируем: оборот поднять проблему употребляется в официально-деловой речи и в научных текстах, освещающих различную проблематику. В выражении поднять эту проблему на невиданную в истории высоту можно видеть приметы языка советской эпохи и то речевое клише, какое стали использовать авторы социально-политических и экономических текстов. Такие примеры, как поднять проблему российского флота на общегосударственный уровень, поднять проблему исключительной важности, всероссийского масштаба, можно рассматривать как типовые. Со временем упоминания о высоте и уровне перестали появляться в предложениях, и определилась речевая формула, какая чаще встречается в современной деловой и научной речи; ср.: поднять проблему изменения международных условий, благополучия животных, формирования художественного течения. Встречается оборот и в текстах филологов: поднять проблему влияния поэта Н. на других поэтов / соотношения идеала и действительности / прав человека / русского характера. Очевидно, что отказывать сочетанию поднять проблему в праве на употребление следует с большими оговорками. Напротив, в лексических обсуждениях целесообразным и результативным может оказаться сопоставление цитат, определение смысловых особенностей высказываний, анализ многозначности слова проблема.

Использование слова благодарности (во множественном числе) — принятый и самый частый в современной практике вариант оформления названия раздела. Форма отражает множественность отдельных актов признательности, адресованных разным людям или организациям.