По правилам русского словообразования соединительная гласная о используется после основ на твердый согласный, а соединительная гласная е — после основ на мягкий согласный и ж, ш, ц. Поэтому правильным будет слово гвоздемёт (ср. гвоздезабивной). Существует, однако, ряд исключений из этого правила, куда входит в том числе слово гвоздодёр. Этим обусловлены колебания в речевой практике: гвоздемёт (по правилам) или гвоздомёт (как гвоздодёр). Поскольку слова гвоздемёт / гвоздомёт не зафиксированы в словарях, рекомендуется руководствоваться общим правилом и использовать вариант с соединительной гласной е.

Правило простое: пишутся через дефис сложные слова с первой частью – буквенной или звуковой аббревиатурой. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006 (и более поздние издания).

Полагаем, следует подобрать другой синоним. Может быть, "ручная сортировка", "упорядочить вручную"?

Вы правы, сочетание неудачное. 

Всё – это форма слова весь. Верно: ко всему магическому.

Возможны варианты.

СХЕМАТИЧЕСКИЙ, -ая, -ое.
1.
Представленный в виде схемы (1 зн.). С-ое изображение телеграфного аппарата. С-ие карты.
2.
Представленный в главных, общих чертах (обычно в упрощённо-обобщённом, шаблонном виде). С-ое изложение. С. показ действительности в фильме. С. образ. < Схематически, нареч. Говоря с.
Представить с.

СХЕМАТИЧНЫЙ, -ая, -ое; -чен, -чна, -чно.
=Схематический (2 зн.). С. взгляд на проблему. Моя формула счастья довольно схематична. < Схематично, нареч. Познакомить со своим романом бегло, с. Лицо изображено весьма с. Схематичность, -и; ж. С. описания. С. пьесы.

Частицу не можно написать раздельно, если важно подчеркнуть отрицание.

Можно. См. ответ на вопрос № 176838.

Название гриба вешенка является общепринятым, поэтому кавычками не выделяется. Слово вешенка должно согласовываться с определяемым словом гриб: грибом вешенкой, о грибе вешенке. Ср. дерево береза, на дереве березе. 

Правило то же самое. С прописной буквы могут писаться некоторые нарицательные существительные в контекстах, где им приписывается особый высокий смысл: Родина, Отечество, Отчизна, Свобода, Добро, Честь, Человек, Учитель, Мастер и т. п.