В этом предложении прилагательное грубый играет роль определения и не входит в основу. Основа предложения сохраняет ключевую идею сообщения: решение представляет собой нарушение, а тип нарушения (которое может быть незначительным, вопиющим, возмутительным, легким, систематическим и т. д.) обозначен прилагательным в роли определения.

Запятые между частями сложносочиненного предложения ставятся: 1. Мы хотели, и мы сделали. 2. Вы приехали к друзьям, и вы должны чувствовать себя как дома.

Допустимо написание Великая теорема Ферма и Малая теорема Ферма с прописной буквы, поскольку это собственные названия теорем, хотя в специальной литературе малая теорема Ферма чаще всего пишется со строчной буквы. Остальные понятия следует писать со строчной буквы: метод факторизации Ферма, спираль Ферма, точка Ферма, числа Ферма.

По правилам русского языка фамилия Синча склоняется и в женском, и в мужском вариантах.

Формально прилагательное народно-хозяйственный должно писаться слитно, поскольку образовано от сочетания народное хозяйство (и именно этот вариант отражен в переиздаваемом справочнике Д. Э. Розенталя). Однако в современном русском языке из этого правила есть довольно много исключений, поскольку специалисты склоняются к другому решению: если в первой части сложного слова есть суффикс прилагательного или причастия — слово пишется через дефис (народно-хозяйственный). Этот вариант зафиксирован современными словарями русского языка и Орфографическим академическим ресурсом «Академос». 

Рекомендуется поставить запятую. В предложении описывается последовательность событий, а не их одновременное протекание, так что обстоятельство обычно понимается как относящееся только к первой части сложносочиненного предложения: Обычно студенты попадали в сложившийся коллектив, и им приходилось подчиниться правилам коллектива, в котором...

С одной стороны, сочетание и даже довольно часто открывает присоединительную конструкцию (как в предложении Некогда он служил в гусарах, и даже счастливо), а это аргумент в пользу запятой. С другой — отношения внутри ряда явно однородные (перечисляются части тела), что позволяет говорить о том, что союз и здесь является соединительным, а не присоединительным, а значит, с учетом общей структуры ряда, запятая не нужна: Тело компенсирует эту неравномерность в других областях, что может вызвать структурное напряжение в верхней части спины и в области плеч и даже в пояснице и в тазобедренных суставах.

Верно: аэро-порт. Согласно § 218 «Правил русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина на стыке частей сложного или сложносокращенного слова возможны только такие переносы, которые соответствуют членению слова на значимые части, напр.: авто-прицеп.

В составе буквенных аббревиатур чтение некоторых названий букв может не совпадать с их общепринятыми названиями. По общему правилу буквенные аббревиатуры произносятся по названиям начальных букв слов или частей сложного слова, но есть исключения типа США ([сэ-шэ-а]) или ФРГ ([фэ-эр-гэ]), зафиксированные в словарях. Что касается омофонии (одинакового звучания разных слов типа ЕС и ЕЭС), то она встречается в языке, в том числе и среди аббревиатур.

Запятая при однородном подчинении не требуется: Мы бы хотели узнать, что именно Вам не понравилось и Ваши предложения по улучшению.