Все варианты возможны. Сочетание спорт или диета можно рассматривать как однородный ряд, а местоимение что — как обобщающее слово при нем; это же сочетание можно оформить и как  пояснительную конструкцию, с помощью запятой или тире.

Поясняющее приложение может быть отделено с помощью запятой или тире: 1) Речь идёт об Иосифе Кауфмане и его племяннике, писателе Борисе Пастернаке; 2) Речь идёт об Иосифе Кауфмане и его племяннике — писателе Борисе Пастернаке.

Прилагательное английский (корень англий-) образовано от существительного Англия (корень англи[j]-) с помощью суффикса -ск-, который имеет значение ‘относящийся к тому или свойственный тому, что названо производящим словом’: Англи[j-а] → англий-ск-ий.

Приведенное Вами сочетание слов не является словосочетанием, если под словосочетанием понимать соединение главного слова и зависимого. Вдали от – это составной предлог. С помощью него сочетание вдали от дороги может примыкать к существительному: дом вдали от дороги.

Запятая перед союзным словом что ставится для отделения придаточной части сложноподчиненного предложения. Акцентировать это союзное слово, если есть необходимость, можно с помощью шрифтового выделения или знака ударения, например: ...хочу уточнить, что́ мы решили в последний раз.

При образовании слов, начинающихся с и, при помощи приставок иноязычного происхождения гипер-, дез-, интер-, контр-, пост-, суб-, супер-, транс- буква и на ы не заменяется, напр.: гиперинфляция, дезинформация, дезинтеграция, контригра, постимпрессионизм, постинфарктный, субинспектор. Поэтому правильно: субинститут.

Правильно: при отправке письма (куда) в аптеки. "Школьное" правило таково: нужно проверить безударное падежное окончание при помощи слова с ударным падежным окончанием, относящегося к тому же склонению. Например: аптека - река, от аптеки - от рекИ.

Названные слова не являются синонимами, поскольку не имеют совпадающих или близких значений, хотя объединяются тематически. Исцеление обозначает процесс (выздоровление, восстановление сил, в частности; см. толкование глагола исцелить), слово лекарство обозначает средство, с помощью которого происходит процесс исцеления.

Предложение составлено таким образом, что с помощью знаков препинания сложно подчеркнуть, на какое слово падает логическое ударение. Можно перестроить предложение (например: ...покажу, что такое настоящая баня) или выделить слово что курсивом, как иногда делают в художественных текстах.

Такое употребление корректно. В "Большом толковом словаре" одно из значений слова аптека - набор лекарств для оказания первой медицинской помощи или несложного домашнего лечения; шкафчик, ящик, футляр для такого набора.

Соответственно, аптечка - небольшой набор такого типа.