Верно: Двадцать второго июня тысяча девятьсот сорок первого года началась Великая Отечественная война.
Сегодня нормативно: на втором этаже.
Определительный оборот выделяется запятыми, если он отделен от определяемого слова другими членами предложения. В данном случае это сказуемое выходят. Поэтому в обоих предложениях запятые нужны. Слова на арене здесь не влияют на пунктуацию.
Предпочтительно: пОдали, но допустимо и подАли.
Верно: Северо-Африканская кампания.
Верно: Использовать как в первый раз, так и во второй (то же, что: Использовать и в первый раз, и во второй).
См. ответ на вопрос № 290626.
См. ответ на вопрос № 283982.
Если речь идет о крупном подразделении какого-л. учреждения, о сфере деятельности управления, то правильно: управление чего? (управление качества, управление финансов, управление кадров).