В современной русской речи слово робот (в значении 'автоматическое устройство') склоняется по типу одушевленного и неодушевленного существительного. Варьирование падежных форм (в сочетании с переходными глаголами, в предложных конструкциях) остается приметной особенностью этого слова. Варьирование обусловлено рядом факторов: речевой практикой в той или иной сфере (например, в профессиональной, отраслевой среде, в художественной литературе), представлениями о том, какое именно автоматическое устройство обозначается этим термином, контекстными условиями. 

Нам представляется, что если бы каждый из них ремонтировал по 3 машины в день, то и было бы написано «по 3 машины каждый». Правда на стороне второй группы.

Приведеннные Вами примеры оформления чисел в учебных пособиях (445 594 мирных жителя, но оказались 810 тыс. советских военнопленных) вполне корректны.

На наш взгляд, деепричастный оборот однозначно относится в инфинитиву: продолжить разговор с Трампом прямо посреди улицы, пытаясь добраться до французского посольства пешком.

В предложении 2 перед оборотом с предлогами от... до... нужно поставить тире вместо двоеточия. См. наши многочисленные ответы о пунктуации при этом обороте, например ответ на вопрос № 321304.

Правила не менялись одномоментно. Есть несколько достаточно авторитетных справочных изданий, в которых рекомендации совпадают не во всем. Эти расхождения могут отражать как разные взгляды авторов, так и эволюцию языковых явлений. Отделять знак сноски (цифру, звездочку и под.) пробелом или нет от слова — вопрос скорее не пунктуационный, а графический. Вполне логично в его решении придерживаться специальных рекомендаций. Однако заметим, что в справочниках Д. Э. Розенталя в разделе «Последовательность знаков при сноске» и при оформлении сносок в тексте единообразия нет (мы посмотрели «Справочник по правописанию и литературной правке» 1967 и 1985 гг. и «Справочник по пунктуации для работников печати» 1984 г.).

Да, названия городов и стран могут употребляться во множественном числе. Такое употребление возможно, когда речь идет, например, о нескольких населенных пунктах с одинаковым названием (в двух Санкт-Петербургах – российском и американском), а также в переносном значении, если имеются в виду разные стороны жизни одного города, одной страны (в этом смысле вполне возможно: две Москвы, три России и т. д.; у Маяковского есть стихотворение «Две Москвы», где одна – старая, дореволюционная, вторая – новая, советская). Что касается согласования с числительным пять, то образование формы родительного падежа мн. числа существительного Москва затруднительно. Если есть потребность в подобном сочетании, можно сказать, например, пять городов с названием Москва.

В лингвистических источниках встречаются разные рекомендации относительно склонения односложных женских имен Ия, Лия, Вия и мужского имени Гия. Полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина указывает, что у этих имен в дательном и предложном падеже по общему правилу окончание -е (посвященная Вие Артмане). В то же время в работе Л. П. Калакуцкой «Фамилии. Имена. Отчества. Написание и их склонение» отмечено, что эти имена могут склоняться и по образцу имени Мария, т. е., согласно этому исследованию, возможны варианты: посвященная Вие Артмане и посвященная Вии Артмане. Так что однозначно утверждать, что в заголовке новости ошибка, нельзя.

На Ваш интересный вопрос могут быть даны два ответа — один краткий, а другой развернутый, объемный. Краткий ответ сводится к суждению «это может зависеть от того, что конкретное подразумевается под неким что-то». Развернутый ответ, опирающийся на наблюдения и анализ обширного языкового материала, предполагает описание разных что-то и типичных сочетаний со словом апогей в случаях, когда имеется в виду определенное что-то. Воспользуемся компромиссным вариантом ответа — статистическим. Найденные цитаты, в которых использован глагол являться в сочетании с именем существительным апогей, единичны. Вне всякого сомнения, это весьма красноречивый показатель, а следовательно, автору стоит уделить особое внимание высказыванию, в котором нечто он называет апогеем.