Даже употребление творительного падежа не делает фразу грамматически безупречной. Увы, если в русском языке два глагола управляют разными падежами, то грамотно построить фразу можно, лишь прибегнув к повтору управляемого слова или к использованию местоимения. Но если вопрос ставится именно таким образом - какой падеж использовать, не перестраивая фразу, - то предпочтение следует отдать творительному падежу. 

Никакое сказуемое здесь не опущено. Аникеев — подлежащее, ученый — составное именное сказуемое с нулевой связкой. Более великий — определение, выраженное составной формой сравнительной степени прилагательного. Это было бы полным двусоставным предложением, если бы не было формы сравнительной степени, которая делает обязательным ответ на вопрос более великий, чем кто?. Опущено дополнение (скажем, чем Петров).

Правило простое: при дробных числительных существительное употребляется в форме единственного числа родительного падежа: 4,3 рубля, 67,84 километра, 2,89 миллиарда. Слово доллар уже не зависит напрямую от числительного, поэтому ставится во множественном числе: 2,89 миллиарда (чего?) долларов.

Поэтому верно: Две целых восемьдесят девять сотых миллиарда долларов; одна целая тридцать одна сотая миллиарда долларов.

Слово опыт не обозначает промежуток времени, предложение следует перестроить. Наращение при количественном числительном 70 не требуется. Возможный вариант: За многие годы работы компания "Такая-то" успешно реализовала более 70 проектов. Кроме того, на наш взгляд, оборот за многие годы лучше заменить на конкретное указание, сколько лет работает компания, например: За девять лет работы компания "Такая-то" успешно реализовала более 70 проектов.

Да, если глаголол ложи́ться  употреблен в следующем значении:

ЛОЖИ́ТЬСЯ, несов. (сов. лечь). Располагаться (расположиться) где-л., приняв горизонтальное положение (о людях и некоторых животных) [impf. to lie down; to go to bed]. В девять вечера Сонечка всегда ложилась спать, хотя заснуть долго не могла, и мама читала ей сказки. На осмотре врача больной лег на спину.

Вторые части этих существительных — это исторически разные слова, хотя и близкородственные. Слово благодетель включает существительное мужского рода дѣтель ‘делатель’ с суффиксом -тель. При образовании слова добродетель использовано существительное женского рода дѣтѣль (позднее также дѣтель) ‘деяние’ с суффиксом -ѣль и вторичным т; ср. зафиксированные в текстах сочетания добрая дѣтель, бѣсовьская дѣтель и др.

Безусловно, верно: алгоритм надевания одежды (на ребенка) или алгоритм одевания ребенка (в одежду).

Аргументы в ответе сотрудников магазина лишены смысла: вопрос, который задается от существительного алгоритм, не влияет на выбор слова. Следует опираться на словарное значение слова, его сочетаемость и логику. 

В качестве обращения слова молодой человек используются только по отношению к незнакомому юноше, молодому мужчине. Также сочетание молодой человек употребляется в значении 'друг, возлюбленный, с которым девушка находится в постоянных отношениях, не вступая в брак'.

Однако при обобщенном употреблении слова молодой человек могут обозначать не только мужчин, но и женщин – в таких, например, контекстах: Когда молодой человек делает первые самостоятельные шаги в жизни...

Противоречия нет. Пример Ты что, заболел? подпадает под следующее правило Д. Э. Розенталя: запятой отделяются слова что, а что, что же, обозначающие вопросы, за которыми следует предложение, раскрывающее их конкретный смысл (после них делается пауза). Ср.: Ты что же, не идёшь с нами? («что делаешь?», пауза после что же). 

Варианты Ты, что, заболел?  и Ты, что? заболел? представляются тоже возможными.