Этот пример не подходит под указанное правило по формальному признаку: отсутствие слов типа так или вот свидетельствует о том, что перед нами классическая конструкция с прямой речью, а не характеристика прямой речи. См. также ответ на вопрос № 324935.

Что касается кавычек, то их отсутствие в особых случаях использования прямой речи фиксируется справочниками. Помимо упомянутого примера из справочника под ред. В. В. Лопатина, можно привести цитату из справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя: «В газетных текстах кавычки при прямой речи нередко опускают: Президент Франции сказал: Обмен мнениями был полезен; Почему же это происходит? — спрашивает газета». В таких случаях передается скорее смысл высказываний, что позволяет опустить кавычки. В Вашем же случае важна форма (какое именно выражение использовали на работе), поэтому кавычки нужны: «Исключительно добросовестный человек», — говорили о нем на работе.

Второй вариант (с разделением на предложения) предпочтителен: в этом случае коммуникативные характеристики двух частей не конфликтуют друг с другом, а потому текст легче воспринимается.

Покольку характеристику А. С. Пушкина как великого русского поэта можно счесть чем-то вроде постоянного эпитета, полагаем, что и в текстах официально-делового стиля она вполне уместна. 

В разговорной речи Ваш второй вариант возможен, но в официальной речи нужно сохранять полное название, а вот характеристику именная вполне можно опустить, чтобы не было тавтологии.

Да, род в таком случае указывается. Но следует помнить, что у существительных, не имеющих форм единственного числа (ножницы, сливки), род определить нельзя. Они вне родовой характеристики.

Ни одна из этих характеристик не подходит. Правильнее назвать полгода сложным словом со второй частью - формой родительного падежа имени существительного.

Верно: в восемь часов сорок одну минуту.

Склоняется последнее слово в в составе порядкового числительного: пятьдесят седьмого образца, сорок четвертых суток и т. д.

Правильно: над Беринговым морем.