Правильно: конаковцы. См.: И. Л. Городецкая, Е. А. Левашов. Русские названия жителей. Словарь-справочник. М., 2003.
Верно: филлер (как роллер).
Корректно: взыскателю - Министерству...
Если это заголовок в газете или на новостном сайте, следует писать с маленькой буквы. Если это заголовок официального документа, то с большой (но, скорее всего, там будет указано, какой именно области, например Выборы Губернатора Калининградской области).
См. в «Письмовнике».
Мы можем ответить только на вопросы по русскому языку, руководствуясь толкованиями словарей. Словари говорят, что психолог - это ученый, специалист по психологии (т. е. не медработник).
Ваш вариант написания корректен. Пишутся с большой буквы: 1) первое слово в официальном наименовании; 2) первое слово в условном наименовании "Такая-то"; 3) собственные имена.
Нет, корректно написание со строчной.
Да, нужна прописная буква. Вы написали правильно.