Это придаточное определительное. 

То, что Вы называете предложением без глагола, в реальности представляет собой неполное предложение, в котором глагол просто опущен во избежание повтора (ведь он только что прозвучал в первой реплике), но он подразумевается. Восстанавливается полное предложение без труда: Я хочу шоколадку. Конечно, и в полном, и в неполном вариантах этого предложения местоимение является подлежащим.
 

Сказанные кем-либо слова, сопровождаемые частицей мол, не требуется заключать в кавычки. Поскольку второе предложение поясняет первое, их можно связать в бессоюзную конструкцию, поставив между частями  двоеточие: Над ними издевались как бы показательно для тех, кого вынуждали идти в легионы «Идель-Урал»: мол, смотрите, что может случиться с вами, если откажетесь от нашего предложения.

Слово заполярный образовано приставочным способом от слова полярный. Приставка за- вносит значение 'находящийся по ту сторону, за пределами того, что названо словосочетанием с производящим прилагательным в качестве определения’: полярный → заполярный (‘находящийся за Полярным кругом’).  Ср.: заударный (лингв. ‘находящийся за ударным слогом’), закаспийский (‘находящийся за Каспийским морем’) и т. п.

При подборе производящего слова учитываются семантические связи слов в современном языке; способ словообразования устанавливается на основе сравнения производной и производящей основ. При этом учитывается значение словообразовательных средств и регулярность их использования при образовании слов по определенной словообразовательной модели.

С основами словообразовательного анализа вы можете познакомиться с помощью пособия Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников» на сайте gramota.ru:

https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/russkij-yazyk-kratkij-teoreticheskij-kurs-dlya-shkolnikov/slovoobrazovatelnyy-razbor-slova-211.

Нет, нельзя. Можно, например: взгляд был направлен; взгляд был устремлен; глаза смотрели.

Правильно: Ученик может ответить на вопрос, не дожидаясь, пока его спросят. Придаточная часть зависит от деепричастия, которое входит в состав главной части.

Заимствованные существительные, состоящие из двух или более элементов, отдельно в русском языке не употребляющихся, пишутся по-разному: в каких-то случаях закрепляется слитное написание (бефстроганов, бомонд, верлибр), в каких-то дефисное (беф-брезе, папье-маше). Написание проверяется по орфографическому словарю. Поскольку словарной фиксации слова мэн-гош пока нет, Вы вправе выбрать дефисное написание и последовательно придерживаться его.

Почему по Мясницкой улице в XIX веке текли молочные реки и кто был владельцем самой могущественной молочной «империи»? Как жили состоятельные москвичи в XVII - XVIII веках и как богатство проявлялось в облике их домов? Где располагался знаменитый кабак «Лупиха», в честь которого был назван Лупихинский переулок (наст. Даев)? 

Написание в кавычках со строчной буквы корректно. 

Учитель неправ. См., например, в http://www.philol.msu.ru/rus/lena-1/conson/mesto2.html [книге «Русская фонетика», авторы: Г. Е.Кедрова, Е. Л. Бархударова, О. В. Дедова, В. В. Потапов, Е. Б. Омельянова ] (внизу страницы).