Да, слова уют и ютиться (также приют) этимологически родственные (однако в современном русском языке однокоренными они не являются). При этом слово ютиться – наиболее позднее образование из этой группы слов, с искусственно, произвольно извлеченным корнем, образовано оно, по-видимому от слова приют (т. е. слово приют было воспринято как слово с приставкой при- и корнем -ют, и этот «корень» послужил основой для создания слова ютиться).
Что касается происхождения слова приют, то его этимология до конца точно не установлена. Возможно, это слово восходит к тому же древнему индоевропейскому корню, что и слово приятель, –*priio-. От этого же корня образованы многие слова со значением 'любовь; дружба, привязанность' в других индоевропейских языках.
Нет оснований писать слово сборник с большой буквы.
Лиловый - от франц. lilas.
Штриховать – это наносить штрихи. Поэтому глагол штриховать образуется от существительного штрих.
От слова вредитель.
Если Вы желаете проверить непроизносимую согласную, то это можно сделать при помощи слова опоздать.
