Верно без запятой: Они разговаривали с ним как с хорошо знакомым человеком. В этом случае оборот с союзом как употреблен при сказуемом, требующем конкретизации, имеет значение отождествления или приравнивания, как в примерах: Вот почему она смотрела на землю как на юдоль скорби (Нов.-Пр.); Она воспринимала мать как старшую сестру и т. п. См. параграф 90 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина. 

Трудно дать однозначный ответ, не зная контекста. Если это прозвище доктора, которое функционирует как имя (в том числе, например, имя персонажа художественного произведения), правильно писать оба слова с прописных, например: «Вот и всё», — сказал Умелые Руки, закончив перевязку. Если же речь о том, что доктор умелец, корректно строчными, например: Василий у нас доктор «умелые руки», советую к нему обратиться. Ср. также: доктор у нас умелые руки.

Вот что об этом сказано в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: «Рядом стоящие имена собственные и нарицательные могут выполнять разные функции в зависимости от выражаемого значения. Например, в предложении Вошла его сестра Маша приложением является сестра; будучи логически выделенным, слово сестра может стать определяемым и тогда собственное имя Маша приобретает функцию уточняющего приложения и обособляется: Вошла его сестра, Маша».

Здесь союзное слово кто действительно присоединяет придаточную часть, вот только заканчивается эта придаточная часть перед точкой, сказуемые участвовал и сбежал однородны, относятся к подлежащему кто. Необходимо выделить парными знаками приложение дворцовый переворот (с зависимыми словами), которое поясняет существительное заговор: Серж был банкиром, коллекционером картин и праправнуком генерала Л. Л. Беннигсена, того самого, кто участвовал в заговоре — дворцовом перевороте 1801 года против императора Павла I — и потом сбежал из России.

1. Вариативно: ...гасит прегрешения, подобно тому как вода гасит огонь; ...гасит прегрешения подобно тому, как вода гасит огонь.

2. В смысле "стремление - это вера"? Тогда нужно тире.

Вот основные:

• Мильчин А. Э., Чельцова Л. К. Справочник издателя и автора. – 4-е изд. – М., 2014.
• Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006 (и более поздние издания).
• Розенталь Д. Э., Джанджакова Е. В., Кабанова Н. П. Справочник по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование. – 7-е изд. М., 2010.
• Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.

Принципиальное значение здесь имеет место ударения в названии. Слова на -ия, где -я безударное, имеют в предложном падеже окончание -и (станция – на станции, армия – в армии, Россия – в России). А вот если -я ударное, в предложном падеже окончание -е: Зульфия (имя) – Зульфие.

«Грамматический словарь русского языка» А. А. Зализняка отмечает, что есть два варианта: Килия (официальный) и Килия (общеупотребительный). Так же будут различаться и варианты написания: в Килии (официальный) и в Килие (общеупотребительный).

Словари фиксируют у прилагательного экстренный два значения: 1) срочный, спешный (экстренный вызов); 2) чрезвычайный, непредвиденный (экстренные расходы). У слова экстремальный отмечается одно значение – "крайний, необычный по трудности, сложности".

Теперь о сочетаемости. Ситуация может быть и экстренной (непредвиденной, чрезвычайной), и экстремальной (крайне трудной, крайне сложной). А вот о медицине правильнее: экстренная медицина, экстренная медицинская помощь (то есть срочная, оперативная).

Таким образом, верны сочетания: медицина экстремальных (и экстренных) ситуаций (в разных значениях); экстренная медицина; экстренная медицинская помощь.

В русском языке есть два омонимичных глагола проводить. Проводить 1 – глагол несовершенного вида (что делать?), образует видовую пару с глаголом совершенного вида провести: проводить собрание – провести собрание, проводить отряд через лес – провести отряд через лес.

А вот глагол проводить 2 – это глагол совершенного вида, он образует видовую пару с глаголом несовершенного вида  провожать: провожать (что делать?) девушку до дома – проводить (что сделать?) девушку до дома, провожать гостей на вокзал – проводить гостей на вокзал.