Слова брак 'свадьба' и брак 'изъян, недоброкачественный товар' – омонимы, они имеют различное происхождение, и их значения никоим образом не связаны друг с другом. Брак ('свадьба') – славянское слово, исторически связанное, по-видимому, с глаголом брать. Брак ('недоброкачественное изделие') заимствовано в XVII веке через польское посредство из немецкого языка, где Brack 'негодный товар' < 'лом' – производное от brechen 'ломать'.

Знаки препинания расставлены верно. Правильное написание: атрофируется. Слова "при этом" обычно не обособляются. Слова в самом деле могут выступать в роли обстоятельства (при этом они не обособляются), а также в роли вводных слов (требуют обособления).

Топонимы славянского происхождения на -ов(о), -ев(о), -ин(о), -ын(о) по нормам русской грамматики могут и должны склоняться. Они изначально были склоняемыми (вспомните у Лермонтова: Недаром помнит вся Россия про день Бородина!). Первоначально несклоняемые формы употреблялись лишь в речи географов и военных, потому что очень важно было давать названия в исходной форме, чтобы не было путаницы: Киров и Кирово, Пушкин и Пушкино и т. п. Но постепенно из устной речи несклоняемые формы проникли в письменную речь. Так, в «Грамматике современного русского литературного языка» 1970 года было указано, что в современном русском языке обнаруживают тенденцию пополнять группу слов нулевого склонения топонимы с финалями -ов(о), -ёво, -ев(о), -ин(о). Другими словами, несклоняемость тогда только начинала распространяться.
Таким образом, несклоняемые варианты стали настолько широко распространенными, что изначально единственно правильный склоняемый вариант многими теперь воспринимается как ошибочный! Если когда-то Анна Ахматова очень возмущалась, когда при ней говорили мы живем в Кратово вместо мы живем в Кратове, то теперь употребление в Строгине, в Люблине многими совершенно напрасно воспринимается как порча языка. Между тем такое произношение и написание отвечает грамматической норме.

Да, слова днем, зимой, вечером и т. п. являются наречиями, произошедшими от существительных. Например: Маленькой елочке холодно (когда?) зимой. Он придет (когда?) днем. Эти наречия омонимичны формам творительного падежа существительных, например: Я наслаждаюсь (чем?) этим прекрасным днем. Так что говорить о том, чем является отдельная взятая словоформа днем, вне контекста нельзя.
Не совсем понятно, что Вы имеете в виду под словом официально. Со справкой о регистрации в разделе «Наречия» от такого-то числа? :) «Официальными» документами являются словари и грамматики, которые фиксируют те или иные языковые явления. Назвать ту научную работу или то грамматическое исследование, в котором впервые было отмечено, что слова днем, вечером, зимой могут иметь морфологические признаки наречия, не представляется возможным.

Правильно здесь: не раз.

Правильно: Мерседес - он и в Африке Мерседес. Деньги - они или есть, или их нет.

Запятая после этих оборотов не требуется.

Если эти слова начинают собой официальные названия государственных учреждений, то, как правило, они пишутся с большой (прописной) буквы.

К числу существительных общего рода относят только существительные первого школьного склонения с флексией -А, -Я, способные выступать как слова мужского и женского рода в зависимости от пола лица, которое они называют: сирота, плакса, неженка, судья и др.

Правила применены правильно. Формы существительных на -ЬЕ совпадают в именительном и предложном падежах.