В приведенном Вами примере запятая обязательна: ...запущены новые линии резиносмешения, благодаря которым... Но она ставится не потому, что дальше следует слово благодаря, а потому, что здесь проходит граница между главным и придаточным предложением.

В этом заголовке слово путешествуя совершенно точно является деепричастием: оно называет дополнительное действие по отношению к основному действию, названному глаголом жить. При этом есть правило, согласно которому деепричастный оборот не обособляется, если он тесно связан по содержанию со сказуемым и образует смысловой центр высказывания, например: Жили Артамоновы ни с кем не знакомясь (М. Г.), Старик шёл прихрамывая на правую ногу и т.  п. Однако заголовок Жить (,) путешествуя не представляет собой предложения, и оценить, образует ли деепричастие смысловой центр высказывания, здесь едва ли возможно. Это аргумент в пользу постановки запятой. Сравним пример предложения, в котором деепричастие играет особую коммуникативную роль и не обособляется: Это здорово — жить путешествуя!

Это не плеоназм. Беременными могут быть животные. См., например: Священны поэтому гнезда птиц, священны беременные самки; если охотнику досталась таковая ― он обязан «отпустить ее Артемиде» (Ф. Ф. Зелинский. Древнегреческая религия).

Корректно раздельное написание: не неженки. 

Верно: зрение на левом глазу.

Правильно, как Вы верно указываете, на берегу. В русском языке есть несколько существительных второго склонения с таким окончанием в предложном падеже со значением места. Ср.: о береге - на берегу, о носе - в носу, о саде - в саду. Падеж один и тот же, окончания (в зависимости от значения падежа) - разные.

Такое сочетание корректно, употребимо в разговорной речи.

Оба ответа корректны.

Такое употребление неправильно. Кичиться означает 'выставлять свое превоходство перед другими, держаться высокомерно'. Кичиться можно чем-либо перед кем-либо, например: кичиться умом, кичиться своими успехами перед коллегами.

Такая трактовка не исключена, но всё-таки наша рекомендация – писать раздельно. Ср. аналогичный пример из полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: ни в коем случае не бесполезный. Наличие отрицательных местоименных слов усиливает отрицание, а не подчеркивает утверждение.