Нормативно и стилистически нейтрально: буду стирать. В непринужденной речи допустимо: буду стираться (в знач. 'устрою стирку').
Вопрос о правильности или неправильности написания в данном случае не вполне корректен. Многие собственные наименования в русском языке испытывают колебания в написании (возьмите, к примеру, наименования автомобилей). Написание определяется и сложившимися традициями (реальной практикой письма) в отношении конкретного слова, и системными аналогиями.
Не будучи ошибочным (т. е. не нарушая "букву закона"), приведенное Вами написание - именно как написание названия системы взглядов - противоречит орфографической системе русского языка. Неоднословные собственные наименования подобного типа принято заключать в кавычки, при этом с большой буквы пишется только первое слово. Более того, мы не усматриваем никаких практических оснований для использования большой буквы во втором слове этого наименования.
Корректно: я буду сама осторожность.
Запятая после слова советов не нужна: для ее постановки нет оснований. Слова будут ошибки входят в придаточное предложение если даже после наших местных советов будут ошибки.
Не хватает запятой перед словом пожалуйста.
Вне контекста непонятно, что такое местные советы.
Запятая перед как не требуется.
Запятая не нужна: здесь как = в качестве.
Этот вопрос носит, на наш взгляд, несколько отвлеченный характер. В тех сферах общения, где ценится соблюдение норм, это слово лучше вообще не употреблять. Написания типа ХЗ, хз характерны для аббревиатур. Но аббревиатуры — это имена существительные, поэтому такое написание не подходит. Написания типа х. з. или х/з используются в графических сокращениях. Графические сокращения не представляют собой самостоятельных словесных единиц, это условный способ передачи полностью произносимых сочетаний. Поэтому и этот способ написания не годится. Приемлемым можно считать написание хэзэ. Такие написания строятся из названий букв и используются в том числе для передачи единиц, которые, будучи изначально графическими сокращениями, приобрели в ходе общения статус самостоятельных слов (хэбэ, мэнээс).
Запятая нужна.
Правильно: будет увеличиваться количество направлений.
Если спуск и подъем - это физически две разные конструкции, то лучше использовать формы множественного числа.
