На документах ставят подпись, документы подписывают. Правильно: подпишите.
Оба сочетания корректны. Чаще говорят: на руинах империи.
Правильно: пропорционально дням (каким?), приходящимся на отчетный месяц.
Фамилии, оканчивающиеся на -ых, их, не склоняются (ни мужские, ни женские). Это единственный тип фамилий, оканчивающихся на согласный, которые не склоняются, даже если относятся к мужчине.
Слово спорткар склоняется: спорткара, спорткару, спорткар, спорткаром, на спорткаре.
Правильно: количество судов на линии, необходимое для освоения грузопотока.
Оба варианта возможны, есть разница в значении: употребление предлога на подчеркивает, что речь идет о поверхности. Ср.: лечь в кровать и уснуть – лечь на кровать в одежде.
Фраза построена неудачно и содержит орфографическую ошибку. Возможны такие варианты: Во дворе / В доме / В подъезде / На придомовой территории ведется видеонаблюдение; На доме установлены/работают камеры видеонаблюдения.
В обоих случаях следует писать раздельно: на завтра.
Орфографический словарь
Предпочтительно с запятой. Обороты, присоединяемые предлогом несмотря на, обычно обособляются.
