Ответ см. в пособии Е. И. Литневской (пункт «Причастия и отглагольные прилагательные»).
Да, верно: в Архангельском порту; в комиссии при порте.
Да, мужская фамилия Кот склоняется.
Да, тип связи в этом словосочетании — управление.
Да, нужна прописная буква. Вы написали правильно.
Да, точка после кавычек здесь ставится.
Да, употребление слова роспись в таком значении неправильно. Можно спрашивать: Во сколько они расписываются? Во сколько у них регистрация?
Да, все слова пишутся строчными, т. к. название не является официальным: в пресс-службе регионального министерства культуры сообщили...
При наличии слов, обязательно требующих раскрытия (пояснения) значения, пояснительные члены предложения отделяются тире. В данном случае раскрытия значения требует слово это, а пояснительным членом предложения являются слова найти в стоге сена иголку. Тире поставлено верно.
Да, названия, выраженные прилагательными, склоняются в сочетании с родовым словом: в поселке Новосафоновском.
