В академической грамматике 1980 г. такие предложения называются предложениями с несобственно-причинным (причинно-аргументирующим) значением: «…ситуация, представленная в придаточной части, является лишь внешним поводом или косвенным свидетельством, используемым как аргумент для умозаключения о том, что сообщается в главной части: Медлить было нечего; я выстрелил в свою очередь, наудачу; верно, пуля попала ему в плечо, потому что вдруг он опустил руку (Лерм.)» (Русская грамматика. М., 1980. Т. 2. § 3027).

Действительно, слово мемориал в значении 'архитектурное сооружение, мемориальный комплекс' управляет дательным падежом: мемориал героям, мемориал жертвам политических репрессий. Однако, в соответствии с традицией, в устоявшихся названиях может использоваться родительный падеж: мемориал Джефферсона, мемориал принца Альберта.

Корректно: ошибка закралась (во что — В. п.) в заявление; ошибка обнаружена (в чем — П. п.) в заявлении.

Между однородными определениями, не связанными союзами, ставится запятая. Определения являются однородными, если за одиночным определением следует определение, выраженное причастным оборотом: малоизвестные, расположенные на отшибе курганы; древняя, почерневшая от времени деревянная статуэтка; твёрдый, плохо выбритый подбородок (ср. при другом порядке слов: плохо выбритый твёрдый подбородок). Именно такой порядок определений наблюдается в приведенном Вами предложении: певучие, раскалённые князем-басурманом струны. 

Также должна быть поставлена запятая перед союзом и между двумя частями сложносочиненного предожения.

О различии значений можно прочитать в толково-словообразовательном словаре (окно «Проверка слова»).

Приложение — это компонент, главная функция которого состоит в дополнительной характеристике определяемого слова. Эта дополнительная характеристика может носить уточняющий характер, может служить указанием на особую важность предмета в каком-либо отношении (старейшая газета России в Вашем примере), может называть классифицирующий признак предмета (летопись в Вашем примере) и др. Поэтому ориентироваться разумнее не на различные попытки вывести правила разграничения приложений и определяемых слов, которые содержатся в различных пособиях, но не охватывают и не могут охватить всего разнообразия смысловых и прочих отношений в конструкциях с приложениями, а на этот главный признак: то, что служит дополнительной характеристикой, и является приложением.

Как Вы уже поняли, никаких реальных ограничений на то, чтобы главное слово было собственным наименованием в кавычках, не существует. Безусловно, бывает, что такое название как раз и служит приложением (кафе «Березка»), но из этого нельзя выводить никакого правила.

Когда имеется обособление, решать, конечно, проще: в обоих Ваших примерах обособленные компоненты и являются приложениями.
 

Да, в этих предложениях союз и соединяет однородные сказуемые. Сказуемые разных типов могут быть однородными.

Приложения, выраженные именами собственными и относящиеся к нарицательным существительным, обособляются знаками тире или запятыми. Такие приложения имеют уточняющий характер и располагаются после определяемых слов: Самый известный из них – Владимир Маяковский – в отличие от многих современников принял активное участие в строительстве нового общества.

На наш взгляд, стоит смириться с существованием разных подходов.

Дополнительные запятые не требуются. Сочетание настроить организм на свой лад в данном случае не вполне понятно.