Написание в кавычках с прописной уместно в том случае, если название используется как торговое (на ценнике, в меню и т. д.): салат «Селедка под шубой». При передаче на письме бытовой речи правильно строчными без кавычек: какой Новый год без селедки под шубой!
Кавычки не нужны.
Запятая не требуется, но лучше оборот со словами "при отсутствии" переместить в начало предложения.
Корректно: под эгидой ФИФА и УЕФА. Ср.: под покровительством ФИФА и УЕФА, действовать под эгидой наблюдателей.
В этом предложении запятая не нужна.
В творительном падеже возможны оба варианта.
Запятая не ставится. Слова "под названием" избыточны.
Глагол шастать выражает неодобрение. Таким образом, если у Вас нет цели показать неодобрение и если это не шуточный текст, то верно: бродят по полю.
