Форма творительного падежа фамилии Маника – Маникой. Так склоняется и мужская, и женская фамилия.

Если в составе фамилии нет суффикса -ов- (такой суффикс есть, например, в фамилиях Иванов, Петров), то женская фамилия должна быть идентична мужской: Вернослов.

Если речь о мужской фамилии, то ее нужно склонять: Чертока.

В подписи уместен женский род: заведующая сектором Мария Ивановна Сидорова. Мужской род – в строгой деловой речи, в официальных документах.

Такое употребление сложилось в строгой деловой речи, т. к. в официальной документации на первое место обычно выдвигается информация о должности (безотносительно к полу лица).

Проигравших в этом споре нет. Согласно «Грамматическому словарю русского языка» А. А. Зализняка, названия Осло, Чикаго могут употребляться и как существительные мужского рода, и как существительные среднего рода. Мужской род обусловлен родом нарицательного существительного город, средний род – тенденцией относить к среднему роду иноязычные несклоняемые слова на -о.

О падеже:  нужен творительный падеж (музеем). Слова заведующий, управляющий, командующий и т. п., по своему происхождению являющиеся причастиями, управляют творительным падежом.

Что касается рода, то мужской род уместен в строгой деловой речи (в приказе: назначить заведующим музеем Иванову...). В обиходной письменной и тем более устной речи верно: заведующая музеем.

Существительное НЛО среднего рода: таинственное НЛО прилетело.

Да, склонение этой мужской фамилии обязательно. Женская фамилия не склоняется.

Фамилии, оканчивающиеся на й с предшествующими гласными и или о, можно воспринять и как имеющие окончания -ий, -ой, а следовательно, склоняющиеся как прилагательные (Плющий, Плющего, Плющему..., в женском роде Плющая, Плющей...), и как имеющие нулевое окончание со склонением по образцу существительных (Плющий, Плющия, Плющию..., в женском роде неизменяемая форма Плющий). Окончательное решение – за носителем фамилии. Но несомненно, что мужская фамилия Плющий в любом случае должна склоняться.