Запятая не нужна: сравнительный оборот здесь играет роль обстоятельства образа действия (сравним: звучит бредово).
В данном случае тире не требуется, однако его постановка возможна в интонационных и выделительных целях.
Какие-либо запреты на употребление такого выражения в современной речи отсутствуют.
Судя по данным Национального корпуса русского языка, оба сочетания возможны, но сочетание глубина мыслей встречается гораздо реже, а в современных текстах примеры его употребления и вовсе единичны. Глубина мысли предпочтительней.
Да, оба слова можно использовать.
Взаимная лексическая сочетаемость этих двух слов сомнительна. Лучше избегать употребления такого сочетания.
Слово невозможно употребляется как наречие в значении 'очень, чрезвычайно' и как предикатив в значении 'нет возможности, нельзя'. В первом Вашем примере невозможно является предикативом (выполняет функцию сказуемого). Хотя словари и указывают на возможность слитного и раздельного написания предикатива невозможно, этот предикатив, как правило, пишется слитно. Во втором приведенном Вами примере невозможно – наречие, оно всегда пишется слитно.
Итак, в обоих примерах корректно слитное написание.
