Корректно: мой день на гастролях, мой день во время гастролей.
Корректно: Участники обсуждали практические подходы к (подходы к чему?) организации подготовки школьников к олимпиадам.
Основа: рыбы имеют особенности.
Основа: полярное сияние — явление.
Оба варианта (записать в тетрадь и записать в тетради) корректны.
В данном случае возможны как слитное, так и раздельное написание наречия. Хотя логически подчеркнутое отрицание подразумевает раздельное написание.
Такое выражение грамматически корректно.
Выражение на мой вкус в приведенном Вами предложении является вводным. Рекомендуем Вам ознакомиться с материалом о вводных конструкциях.
Корректно: девушка по прозвищу Прекрасный Пион стояла прямо за стенкой.
Корректно: На медали выгравирован символ федерации «Скейт Канада».
