Образование формы родительного падежа мн. числа существительного мечта затруднительно; в индивидуальном употреблении отмечен вариант мечт («Он корни помыслов, он зрит полет всех мечт И поглумляется безумству человеков...» Державин, Евгению). Посколку форма мечт малоупотребительна, вместо нее используют р. п. слова мечтание – мечтаний.

После ж, ш, ч, щ буква ь пишется в формах повелительного наклонения глаголов на конце слова (мажь, ешь, прячь), во множественном числе перед -те (мажьте, ешьте, прячьте), а также перед постфиксом -ся (прячься). В слове нажми нет условий для написания мягкого знака.

Арбуз арфой не проверишь, это разные корни. Фонематическому принципу орфографии (не графики) соответствует написание з на конце слова арбуз: корень арбуз пишется одинаково, несмотря на то что его произношение в разных позиционных условиях разное: арбу[c] в арбуз и арбу[з] в арбуза.

Дело в том, что корни слов не имеют падежей. Падежное значение у имен (существительных, прилагательных, числительных) выражается при помощи окончаний. Но, поскольку некорректно говорить об окончании в середине слова (тем более, об окончании, утратившем "падежное" значение), то используют термин "интерфикс" (реже говорят о "внутренней флексии").

В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой употребление предлога в в сочетании со словом Крым объясняется тем, что Крым воспринимается как пространство, частично ограниченное горами (а с представлением об ограниченном пространстве связано употребление предлога в).

Правильно раздельное написание: Спас на Крови. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012. Служебные слова выделяются двумя дефисами в середине составных географических названий: Ростов-на-Дону, Комсомольск-на-Амуре. В названиях храмов дефисы не пишутся, ср.: Спас на Бору, церковь Покрова на Нерли.

Противоречие можно объяснить тем, что в толковании слова устный Вы не найдете слова уста. Морфемный словарь следует формальному критерию: если этимологически близкого слова нет в толковании, то корни будут разными. Как нам кажется, в случае со словом устный этим формализмом можно было бы пренебречь. Впрочем, Вы можете ориентироваться и на рекомендации словаря, почему нет?

Объяснение неполное и в чем-то неправильное. Например, корень, связанный с чтением, все же чередование содержит, ср.:  прочесть, прочёл, дочёл (в этих словоформах корень имеет форму -чес- и -чё-). Правда, е и ё появляются лишь под ударением, и этими формами редко проверяют безударную гласную, быстрее вспоминаются формы с ударным [и] — читаный, читарь, читка. Корни, которые Вас интересуют, подробно описаны здесь. 

В слове белорус корень рус-, а в словах малоросс, великоросс корень росс-.

Это разные корни, исторически существование двух корней связано с разными наименованиями страны: Русь и Россия.

Подробнее о двух наименованиях страны можно узнать на сайте gramota.ru. См. «Словарь-справочник трудностей русского языка» Ю. А. Бельчикова, О. И. Ражевой: https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/slovar-trudnostey/rossiyskiy-i-russkiy.