Корректно написание со строчной буквы.
Варианты в практике письма естественны, так как для данной языковой единицы норма написания не устанавливается словарями.
Да, всё верно. Форма местоимения всея пришла из древнерусского языка (вьсеѣ), и это форма родительного падежа женского рода. Родительный падеж среднего рода совпадает с современным: (вьсего). Таким образом, можно сказать: всея Руси, всея земли, но: всего государства.
В заключительной части письма чаще используется форма с пожеланиями...
Для того чтобы избежать двусмысленности, мы рекомендуем использовать вариант наилучшего вместо лучшего: С пожеланиями наилучшего отдыха, отель.
Запятая поставлена верно.
Корректно написание строчными буквами.
Запятая после подогревом не требуется.
Разговорные названия вузов на письме обычно оформляются с прописной без кавычек: учиться в Тимирязевке (Бауманке, Гнесинке, Щепке...). Впрочем, по желанию автора текста кавычки могут быть поставлены.
В русском языке есть омонимичные глагольные формы: проскачу – от проскакать, проскочу – от проскочить. Поэтому оба написания возможны (разумеется, только вне контекста).
Судя по приведенному Вами контексту, для постановки запятой оснований нет.
