Предложения, по структуре точно соответствующие Вашему, в правилах не описаны. Но можно опереться на более общее правило:

«Тире ставится в неполном предложении, составляющем часть сложного предложения, когда пропущенный член (обычно сказуемое) восстанавливается из предыдущей части фразы и в месте пропуска делается пауза...

При отсутствии паузы в месте пропуска члена предложения тире не ставится...» (Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Пунктуация. § 6, п. 5).

Таким образом, тире факультативно, его постановка обусловлена интонацией.

Лучше оформить так: директору филиала «Северное ПМЭС» ПАО «ФСК ЕЭС».

В приведенной конструкции нет приложения, парными тире выделено целое предложение. Такое пунктуационное оформление представляется неудачным, оно затемняет логические связи между компонентами. Первая часть конструкции сообщает о факте, две другие содержат мысли Ивана, изложенные в третьем лице, то есть представляют собой несобственно-прямую речь. Можно рекомендовать варианты:

• Про сломанные наушники Иван умолчал: нечего маму расстраивать, накопит денег и купит новые. (Мысли персонажа преподносятся как объяснение его поступка.)
• Про сломанные наушники Иван умолчал. Нечего маму расстраивать, накопит денег и купит новые. (Мысли персонажа преподносятся как комментарий к поступку.)

В этом предложении прямая речь внутри слов автора. В общем случае после такой прямой речи ставится только запятая, если она была необходима в месте разрыва вводящих слов автора (а в нашем примере она необходима, так как на этом месте оканчивается часть сложного предложения). Однако если прямая речь заканчивается многоточием, вопросительным или восклицательным знаком, вместо запятой ставится тире, сравним пример: Петр Михайлыч хотел сказать: «Не впутывайся ты, пожалуйста, не в свои дела!» – но промолчал (Ч.). Поэтому корректно: Хотя ей говорили: «Зря ты грустишь, зря не ешь и не спишь!» — она терпеливо ждала своего чуда.

Это не перечисление двух глаголов, а составное глагольное сказуемое. Вид смыслового инфинитива в общем случае не влияет на прочтение частновидового значения связочного глагола (отказывалась). Влияет более широкий контекст. Если, допустим, в суде спрашивают, имел ли место факт отказа потерпевшей от предложения выйти замуж, то не имеет значения, какой глагол из видовой пары выходить/выйти будет использован:

Она отказывалась выходить за него замуж (или нет)?

Она отказывалась выйти за него замуж (или нет)?

В обоих случаях имеем общефактическое значение НСВ: суду важно выяснить, каковы были мотивы преступного деяния, совершенного в отношении потерпевшей, и, если имел место факт отказа, возникает версия такого мотива.

В выражении ей-богу и во множественном числе (о боги) возможно только написание строчными.

В остальных случаях руководствуемся правилом: в устойчивых сочетаниях междометного характера, которые употребляются в разговорной речи вне прямой связи с религией, слова бог и господь пишутся со строчной буквы: не дай бог, о боже мой, не приведи господь, слава богу. 

Слова Боже и Господи пишутся с большой буквы, если выражают обращение к Богу. В некоторых случаях выбор написания зависит от контекста. Так, может быть написано слава Богу (если контекст указывает, что говорящий действительно благодарит Господа Бога) и слава богу (если по контексту ясно, что употреблен расхожий разговорный оборот: В тот раз он, слава богу, пришёл вовремя!).

Нет, эти слова не являются родственными, они восходят в конечном итоге к двум разным древним индоевропейским основам.

Вождь пришло в русский язык из старославянского, где оно восходит к праславянскому корню *ved – отсюда же и глагол вести (вождь – тот, кто ведет за собой). Этот корень, в свою очередь, восходит к праиндоевропейской основе, поэтому наше слово вести  родственно словам других индоевропейских языков, например, латышскому vest, древнепрусскому west с тем же значением ('вести').

Слова вожделенный, вожделение, вожделеть также пришли из старославянского языка, но восходят к другой основе. Вожделеть образовано с помощью приставки въз- от желети (во втором слоге был «ять») 'желать'. А слова желети, желати восходят к праиндоевропейской основе со значением 'желать, хотеть' и также имеют соответствия в других индоевропейских языках.

Перенос названных слов не нарушает ни одного из правил и не препятствует чтению, поэтому вполне возможен. Но нельзя сказать, что все слова с дефисом допустимо делить на части для переноса в том месте, где стоит дефис. Так, нельзя перенести философский термин не-я. 

При переносе слов с дефисом нужно учесть следующее: в текстах, в которых важно показать, что на месте переноса должен стоять дефис (например, в орфографических справочниках, в учебниках), возможно продублировать короткую черточку на новой строке. Пример:

Не забывайте ставить дефис в словах из-за, из-под, кто-то, что-

-то. 

Полные правила переноса можно прочитать в академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).

Да, конструкции типа Я бы не стал этого делать вполне нормативны. Частица бы (б) является энклитикой, то есть не имеет собственного ударения и примыкает к предыдущему слову. Чаще всего частица бы (б) занимает либо второе место в предложении, либо место после предиката. Эти свойства частицы бы (б), как указывает А. А. Зализняк, являются следствием того, что в древнерусский период ее функционирование подчинялось закону Ваккернагеля: «…будучи теснейшим образом связана по смыслу со сказуемым, она [частица бы] тем не менее и ныне может уходить от него сколь угодно далеко влево. Наследием ваккернагелевского статуса является также запрет на дистантную постпозицию к сказуемому (возможна только контактная постпозиция); например, невозможно *Он от этого отказался наотрез бы – притом что и после он, и после этого, и после отказался частицу бы здесь поставить можно».