Мягкий знак пишется перед -ся в неопределенной форме глагола (что делать? купаться) и не пишется в форме 3-го лица единственного и множественного числа (что делает? купается, что делают? купаются).

Географические названия в сочетании с родовым словом обычно не склоняются, если внешняя форма названия соответствует форме мн. числа: из города Набережные Челны, в городе Великие Луки, в городе Мытищи.

В существительных среднего рода на -ье в предложном падеже единственного числа пишется буква Е: в восхищенье, о счастье. См.  «Справочник по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя (§ 37).

Форма глагола зависит от рода и числа подлежащего, например: Первой эмоцией была радость (подлежащее: радость), но: Первой эмоцией был страх (подлежащее: страх). Первым моим вопросом было: "Почему я здесь?"

Продаем яйцо – корректно. Форма единственного числа может быть употреблена для обозначения не конкретного объекта, а целого класса объектов. Ср.: В этом лесу растет только береза, сосна здесь не растет.

При подлежащем – относительном местоимении кто (в функции союзного слова в придаточном предложении) сказуемое может стоять как в форме единственного, так и в форме множественного числа. Поэтому оба варианта корректны.

Мы согласны с Вашим мнением. Слово специализация свободно употребляется в форме множественного числа, а инфраструктура обычно используется в форме единственного: экономические специализации субъектов Российской Федерации; транспортная и социальная инфраструктура.

Образование формы родительного падежа мн. числа существительного мечта затруднительно; в индивидуальном употреблении отмечен вариант мечт («Он корни помыслов, он зрит полет всех мечт И поглумляется безумству человеков...» Державин, Евгению).

Литературная норма: тренеры. Слова в словарях надо искать по начальной форме (у существительных это форма ед. числа именительного падежа, т. е. искать в словаре надо не тренеры, а тренер).