Верны оба варианта: ценны и ценны. При этом вариант с ударением на первом слоге более предпочтителен. 

В этом предложении слово существующих является причастием, на что указывает зависимое наречие уже, указывающее на время действия. Поэтому не в контексте вырезки из уже не существующих газет пишется раздельно.

В справочнике приведен только пример, в котором за указательным местоимением не следует зависимой от него придаточной части (да она и не может следовать в таких случаях): Это кабинет? Это спальня? (Ч.). Наблюдения над практикой письма показывают, что в случаях, подобных приведенному Вами, тире обычно ставится, однако ни на какой справочник здесь сослаться невозможно. При оценивании проверочных работ такие случаи целесообразно выводить из подсчета ошибок.

В этой сугубо разговорной конструкции деепричастие не поднимая играет роль несогласованного определения: сброс (какой?) не поднимая. Будет логичным не ставить перед ним запятую.

Для оформления вопроса как прямой речи здесь нет оснований. Верен второй вариант, и в нем запятая перед когда действительно не ставится, так как придаточная часть усечена до одного союзного слова (когда).

Показатель возвратности -ся в русском языке имеет, помимо упомянутого Вами рефлексивного употребления (в предложениях типа Кот умывается), еще ряд употреблений, например пассивное, как в предложениях Дом строится или Победитель награждается. Среди других употреблений -ся — взаимное (Влюбленные целуются), рефлексивно-бенефактивное (Запасся дровами), объектно-имперсональное (Собака кусается) и некоторые другие (подробно об этом см., например, ресурс «Русграм»).

Действительно, наличие придаточной части при подлежащем не названо в числе факторов, отменяющих тире между подлежащим и сказуемым-существительным (см. параграф 15 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина). 

Простого ответа на этот вопрос нет. Слово половина относится к группе существительных с количественным значением — наряду со словами ряд, часть, множество. На выбор формы сказуемого при таких словах влияют разные факторы, основные из которых перечислены в нашем «Письмовнике». Специальные исследования показывают, что в подобных случаях слово половина по своим синтаксическим свойствам близко предметным существительным, а потому сочетается, как правило, со сказуемым в единственном числе. Очевидно, эта форма предпочтительна (но не единственно возможна) и в Вашем примере: Половина дверей открыта настежь. 

В этом выражении верно только слитное написание отрицательного местоимения: ничто из этого. 

Предложение неполное, оно может быть восстановлено приблизительно так: Из недавних [проектов могут быть названы] постановка «Аиды» Верди в Большом театре, «Милосердие Тита» Моцарта в Театре Покровского. На месте пропуска в неполном предложении ставится тире.