Мужская фамилия склоняется, причем предпочтительно склонение без выпадения гласной: Заяца, Заяцу.
Написание гласной в корне этого слова лучше проверять в словарном порядке.
Запятая нужна, она отделяет главную часть от придаточной в сложноподчиненном предложении.
Запятая нужна. Запятая ставится между главным и придаточным предложением в составе сложноподчиненного.
Запятая обязательна (она ставится между главным и придаточным предложением в составе сложноподчиненного).
Запятой отделяется придаточное предложение от главного (что употребляется здесь в значении «которая»).
Это предложение можно рассматривать как односоставное назывное, где главный член - гусь.
Запятая не нужна, так как у придаточных предложений есть общая главная часть.