Это так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). Тире в таких предложениях ставится при наличии паузы.
Если деепричастный оборот открыв рот используется не в буквальном, а в переносном смысле ('изумленно, удивленно'), он имеет значение обстоятельства образа действия и не обособляется. Об условиях необособления деепричастных конструкций, см., например, параграф 71 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
То есть несколько кандидатов, претендующих на один пост? Тогда верно.
Да, это вводное сочетание, требующее обособления.
Предложение построено некорректно (деепричастный оборот не должен относиться к страдательному причастию), его следует изменить.
