К сожалению, правила недостаточно четко регламентируют данную ситуацию. При прямой речи, стоящей после слов автора и заканчивающейся вопросительным знаком, восклицательным или многоточием, точка не ставится (см. оформление примеров в § 196 Правил 1956 года). Однако Ваш пример ближе к предложениям, в которых при разных знаках внутри кавычек и в конце всего предложения, знак конца предложения все же ставится. Приведем правило из Полного академического справочника под ред. В. В. Лопатина (§ 159): «если перед закрывающей кавычкой стоит знак вопросительный, восклицательный или многоточие (и на этом предложение заканчивается), то те же знаки, необходимые по условиям всего предложения, не повторяются после закрывающей кавычки; неодинаковые знаки (перед кавычкой и после кавычки) ставятся». Ср. примеры: 

     Вы читали роман «Кто виноват?»

       Неужели вы не прочитали роман «Что делать?»!

Да, точка после кавычек здесь ставится.

Точка после кавычек нужна: ...помета «разг.».

Действительно, точка после сокращения км (километр) не нужна.

Нет, точка не ставится в конце предложения после точки, обозначающей сокращение слова. Правильно: Иванову А. С.

Интересный вопрос. В справочниках такого действительно нет. Или почти нет. Давайте рассуждать. Есть правило: после вопросительного или восклицательного знака ставятся не три точки (обычный вид многоточия), а две. Правило основано на том, что первая точка стоит под одним из названных знаков. Значит, при сочетании трех знаков надо оставить только одну точку: ?!. Первая и вторая точки стоят под вопросительным и восклицательным знаками. И еще один аргумент в пользу такого сочетания: в Полном академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина (М., 2006), в предметном указателе к разделу «Пунктуация», сочетание знаков ​​​​​​​?!. указано в ряду с ​​​​​​​?.. и ​​​​​​​!.., хотя в самом правиле и в примерах к нему оно не приводится.