Как резонно заметил мэр, в городе можно заметить и те и другие и, для того чтобы вывезти мусор, нужно гонять две машины: одну - для евроконтейнеров, другую - для обычных.

1. По сложившейся орфографической традиции после приставки рас- пишется либо счит (рассчитывать, рассчитаться), либо чет (расчет, перерасчет). 

Все эти слова являются однокоренными и связаны словообразовательными связями. Они содержат корень с чередованием -чит-(-чет-) и по правилу должны содержать два с – одно в приставке рас-, а другое в приставке с-. См. словообразовательную цепочку: считать – рассчитать – рассчитывать – перерассчитывать. Однако при образовании существительного расчет от глагола рассчитать одно с «теряется», и все слова, образующиеся от слова расчет, пишутся уже с одной с: расчет – перерасчет, расчет – расчетливый – расчетливо – нерасчетливо и т. д. 

Обратите внимание, что слово бессчетный пишется по правилу, без потери согласной: считать – счет – бессчетный.

2. Ваш пунктуационный вариант возможен. Ошибки нет.

3. Когда-то привычные нам знаки тире, многоточие, кавычки были новыми. Они вошли в практику письма и были «узаконены» в правилах в ХVIII в., уже после того как М. В. Ломоносов сформулировал правила употребления запятой, точки с запятой, двоеточия и знаков конца предложения. Отрицать возможность появления и закрепления в правилах новых графических знаков (например, смайликов) нельзя. Однако если это и произойдет, то не скоро.

Кажется странным считать ошибкой сочетание Алексей Максимович Горький в сочинении, с учетом того факта, что такое сочетание нередко встречается в прозе и публицистике XX века, а кроме того, один из известнейших вузов Москвы носит название Литературный институт имени А. М. Горького. Но лучше не рисковать: вдруг Вам попадется слишком строгий проверяющий? 

Возможно при соответствующей интонации. В этом случае следует поставить тире.

Да, конечно.

Запятая не нужна.

Фразеологизмами эти выражения считать невозможно. Вместе с тем ставить в них запятую не нужно: в сочетании ходи оглядывайся глаголы в одинаковой форме образуют единое смысловое целое (как идет себе посматривает или попробуй определи), а в сочетании ходи оглядываясь деепричастие имеет наречное значение («с оглядкой»).

Грамотно: принесите, пожалуйста, счёт. У слов рассчитать и посчитать в русском литературном языке нет значения 'принести счет'.

В обоих предложениях верно написание неиспользованным.