Нет, на союз но это правило не распространяется, так как он может выражать не только противопоставление, но и сопоставление. Например: Он был некрасив, но обаятелен (но = но при этом).
Предлагаем почитать о частях речи в учебнике Е. И. Литневской.
Первое время он отчаянно пытался достучаться до них, но когда понял, что все это бессмысленно, бессильно опустил руки.
Второй вариант предпочтителен.
В предложении Руки как ветви сравнительный оборот является сказуемым, а потому не обособляется. См. параграф 90 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Оба варианта правильные.
Правильно: живу в Дне. Хотя рекомендуется употребление родового слова: живу в городе Дно.
Все просто: сочетания твердых заднеязычных согласных с Ы (ГЫ, КЫ) в современном русском языке практически не используются. Происходит смягчение.
Такая ситуация в принципе возможна.
