Вообще говоря, этот вопрос нужно задать тому человеку, который Вам сказал (или написал), что в первом случае союзное слово, а во втором — союз. Полной взаимозаменяемости здесь нет, поскольку вариант с как не является строго литературным, но синонимия обоих вариантов бесспорна.

На самом деле, правда, всё еще сложнее. Отношение придаточной части когда я понял всё к главной части В тот день жизнь моя изменилась может быть различным. Между тем от этого отношения зависит и квалификация слова когда (или как) в качестве союза или местоимения — союзного слова.

Случай 1. День, о котором идет речь, в предшествующем контексте еще не упоминался, и придаточное служит определением к сущ. день. Например:

Так прошло много дней и даже недель, и я по-прежнему ничего не понимал, а перспективы моей жизни были довольно унылы. Но в тот день, когда я понял всё, жизнь моя изменилась.

Здесь местоимение тот отсылает к придаточной части, из которой и становится понятно, какой «тот» день имеет в виду говорящий. В этом случае перед нами определительное придаточное, когда — союзное слово, которое можно заменить другим союзным словом (который): В тот день, в который я понял всё, жизнь моя изменилась.

Случай 2. День, о котором идет речь, уже упоминался. Например:

И вдруг мне всё стало ясно. Это случилось в первую субботу после Пасхи. Помню, я еще долго удивлялся, как же раньше до меня не доходила такая простая вещь. И вот в тот день, когда я понял всё, жизнь моя изменилась.

Здесь местоимение тот отсылает к левому контексту, к словосочетанию первая суббота после Пасхи. Конкретизация выражения тот день не требуется. В этом случае выражения в тот день и когда я понял всё оба имеют обстоятельственное значение, и второе из них оказывается уточняющим (по отношению к В тот день) обстоятельственным придаточным времени с союзом когда. Оба выражения при этом произносятся с одинаковой восходящей интонацией и с более длительной, чем в первом случае, паузой между ними.

Что же касается слова как в этой конструкции, в первом случае оно нежелательно. Как может использоваться во временно́м значении как синоним когда (у Пушкина: Как наешься ты своей полбы, собери-ка с чертей оброк мне полный), но в качестве синонима союзного слова который — нет. Использование как во втором случае допустимо, но несет явный оттенок разговорности, в а первом случае — крайне нежелательно.

Просьба —  многострадальное слово. Чего только стоят объявления в крупных магазинах вроде следующего: «Сотрудника отдела бытовой техники просьба подойти на инфостойку».

И в этом примере, и в примере Просьба перестать ломать ограду наблюдается одно и то же явление: существительное просьба используется вместо глагола (просят, просим) — и, что самое главное, существительному безосновательно придаются синтаксические свойства глагола. Так, в примере из гипермаркета форма В. п. сотрудника объясняется только тем, что подразумевается «просят (просим) сотрудника»: просить кого? что? — стандартное управление глагола просить, но не существительного просьба.

И в вашем примере инфинитивная конструкция перестать ломать примыкает к сущ. просьба так же, как примыкает к глаголу: просим перестать.

Следовательно, в основе конструкции, о которой вы спрашиваете, лежит определенно-личное (просим) или неопределенно-личное (просят) предложение, и сущ. просьба в ней является эквивалентом одной из этих глагольных форм. Поэтому корректно интерпретировать его как главный член односоставного предложения — просто главный член, не подлежащее и не сказуемое. Перестать ломать — дополнение (ср. просить, просьба о чем?), которое не квалифицируется ни как прямое, ни как косвенное, так как падежа у него нет.

Что же касается самого предложения, то ни под один из выделяемых в традиционной грамматике типов оно не подводится. Можно считать его разговорной модификацией (не)определенно-личного предложения.

Определение входит в обстоятельственную группу в бесконечном космосе, но внутри этой группы оно является именно определением. При желании графический разбор можно усложнить: подчеркнуть всю обстоятельственную группу как обстоятельство, а определение — вдобавок еще и как определение.

Ломать голову над тем, определением или дополнением является распространитель, который способен ответить на разные вопросы, непродуктивно. Лучше договориться, что бывают синкретичные распространители, совмещающие функции определения и дополнения. Пирог с капустой — это как раз такой пример. Как существительное, пирог автоматически разрешает смысловой вопрос какой?. Но мы хорошо знаем, что пироги обычно пекут с начинкой, поэтому вопрос с чем? абсолютно легитимен. (Не случайно, когда на улицах торговали с лотков пирожками, продавщицы без конца отвечали на один и тот же вопрос: С чем у вас пирожки? — и никому не приходило в голову спросить Какие у вас пирожки?.) Суть дела здесь состоит в том, что в таких случаях дополнение подается в оболочке определения. Ведь на вопрос какой? можно ответить десятком других способов (слоеный, румяный, аппетитный, горячий, мясной). Здесь же выбирается вопрос с уточнением: какой, с чем?. Поэтому и характеризовать распространитель лучше как совмещающий признаки несогласованного определения и косвенного дополнения, но если выбирать однозначное решение, то — как косвенное дополнение.

Что же касается второго примера, то здесь ситуация несколько иная. При обычном употреблении глагол танцевать не предполагает распространителя, отвечающего на вопрос с чем?. Можно танцевать как, с кем, где — это обычные распространители к этому глаголу. Поэтому при обычном употреблении предпочтительно видеть в существительном с предлогом обстоятельство.

Однако в употреблении специальном — например, в сфере художественной гимнастики, циркового искусства и т. п. — танец с чем (с лентой, с саблями, с булавами) представляет собой обычное для речи этой сферы управление, и поэтому в этой сфере вполне законным будет вопрос типа С чем она сегодня танцует?. Если предложение с этим словосочетанием взято из речи в такой сфере, то целесообразно видеть в распространителе косвенное дополнение.

Общее правило очень простое: к зависимому компоненту надо ставить смысловой, а не формальный вопрос. То есть это должен быть вопрос не к форме зависимого слова, а от смысла главного слова. Если смысловой вопрос совпал с вопросом к форме зависимого слова (то есть с падежным или предложно-падежным вопросом) — значит, перед нами дополнение.

Запятая в этом предложении обязательно нужна, поскольку оно сложное. Что же касается места этой запятой, то всё зависит от того, к чему относится обстоятельство перед первым применением:

Чтобы проверить устойчивость красителя перед первым применением, нанесите гель на незаметный участок ткани и после смойте водой (если обстоятельство относится к глаголу проверить);

Чтобы проверить устойчивость красителя, перед первым применением нанесите гель на незаметный участок ткани и после смойте водой (если обстоятельство относится к глаголу нанесите, что выглядит более логичным).

Знаки препинания расставлены верно. Другое дело, что лучше было бы взять обособленное приложение в парное тире, чтобы отграничить обособление приложения и выделение запятыми вводного предложения как ее называли в доме.

Перед нами простое предложение, осложненное обособленным приложением и вводной конструкцией.

Что же касается придаточных частей, то многие из них могут оказаться внутри чего угодно. Например: Дедушка, заслуженный строитель, приехавший в наш город, когда он еще только строился, и многое сделавший для его становления, хотя кое-кто и пытался ему помешать, обычно очень внимательно слушал сообщения о новых стройках.

В примере (1) Прежде чем СКАЗАТЬ СВ надо сначала ПОДУМАТЬ СВ значения повторяющихся действий нет. Значение потенциальности видеть можно вполне (ведь использован инфинитив). Использование двух форм НСВ в (2) подчеркивает процессуальность (длительность), значение повторяемости может быть внесено только дополнительными лексическими средствами (каждый раз, всегда и т. п.). В (2) и (3) использование НСВ думать ведет к предпочтительной трактовке предложения как совета (или даже замечания); если (1) и (4) можно с равным успехом адресовать как собеседнику, так и себе самому, то (2-3) по отношению к себе самому маловероятно (разве что как выговор самому себе).

В целом все варианты вполне дееспособны. Что же касается вопроса, какое действие подчеркнуто сильнее, то ответа на него нет: вид не прагматическая категория, с его помощью ничего не подчеркивается. Подчеркнуть некоторый аспект смысла можно нарочитым лексическим выбором, частицами, интонацией… Вид я бы назвал — если его все-таки включать в этот список — последним в ряду подобных средств. Нет у него такой функции.
 

Простите, но Ваш вопрос не вполне понятен. Вот что зафиксировано в словаре:

Большой толковый словарь русского языка

ПРОСТЫНЯ́, -и́; мн. про́стыни, род. -ты́нь, -не́й, дат. -ня́м. 

В абстрактном значении «нечто особенное» употребляется не само по себе местоимение такой, а устойчивое сочетание что такого (см., например, словарную статью местоимения что в «Большом универсальном словаре русского языка»): Что такого я говорил?

Это пояснительная конструкция: существительные взаимовыручка и  эгоизм поясняют местоимение что.

Увы, в языке отнюдь не всегда обнаруживаются слова, какие могли бы стать компонентами вполне регулярных, по нашим наблюдениям, лексических соотношений. В обсуждаемом случае, как представляется, временно́е определение мало информативно; ср. вариант: В 1974 году премьер-министр страны... Если подобное указание все же предпочтительно, то в качестве стилистически нейтрального обозначения может выступить описательный оборот, например: занимавший должность премьер-министра.