Да, эта фамилия обязательно должна склоняться: Кулеша Андрея, Кулешу Андрею и т. д.
Корректно: В третий и четвертый адреса письмо направляется для сведения.
Да, правильно.
Собственное имя выделяется в этом случае запятыми: Девушка дала телефон мужа, Андрея, своему другу...
Корректны оба варианта, однако более распространен вариант с единственным числом: Прошу направить документы в адрес ООО «Сервис» и АО «Климат».
Правильно: замужем за Андреем Гагаузом.
Элементы адреса принято разделять запятыми.