Нейтральный стиль: 5-я ул. Соколиной горы, ул. Металлургов.
См. «Учебник ГРАМОТЫ». Правило касается корней гор-гар со значением, связанным с горением.
Корректны оба варианта.
Верно: Западно-Сахалинский район.
Правильно: на гору, допустимо: на гору.
Это название горной системы, оно пишется с прописной буквы: Кавказские горы.